Статии

8.3E: Серия Фурие II (Упражнения) - Математика


В Упражнение 8.3.2 графика (f ) и някои частични суми от необходимата поредица.

Q8.3.1

В Упражнения 8.3.1-8.3.10 намерете косинусната серия на Фурие.

1. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

2. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

3. (f (x) = x ^ 2-2Lx ); ([0, L] )

4. (f (x) = sin kx ) ( (k ne ) цяло число); ([0, pi] )

5. (f (x) = ляво { начало {масив} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

6. (f (x) = x ^ 2-L ^ 2 ); ([0, L] )

7. (f (x) = (x-1) ^ 2 ); ([0,1] )

8. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

9. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

10. (f (x) = x (x-2L) ); ([0, L] )

Q8.3.2

В Упражнения 8.3.11-8.3.17 намерете синусоидната серия на Фурие

11. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

12. (f (x) = 1-x ); ([0,1] )

13. (f (x) = cos kx ) ( (k ne ) цяло число); ([0, pi] )

14. (f (x) = вляво { начало {масив} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

15. (f (x) = вляво { начало {масив} {cl} x, & 0 le x le {L over2}, Lx, & {L over2} le x le L; край {масив} дясно. ) ([0, L] ).

16. (f (x) = x sin x ); ([0, pi] )

17. (f (x) = e ^ x ); ([0, pi] )

Q8.3.3

В Упражнения 8.3.18-8.3.24 намерете смесената серия от косинуси на Фурие.

18. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

19. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

20. (f (x) = x ); ([0,1] )

21. (f (x) = ляво { начало {масив} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

22. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

23. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

24. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] )

Q8.3.4

В Упражнения 8.3.25-8.3.30 намерете смесената синусова редица на Фурие.

25. (f (x) = 1 ); ([0, L] )

26. (f (x) = x ^ 2 ); ([0, L] )

27. (f (x) = ляво { начало {масив} {cl} 1, & 0 le x le {L over2} 0, & {L over2}

28. (f (x) = cos x ); ([0, pi] )

29. (f (x) = sin x ); ([0, pi] )

30. (f (x) = x (L-x) ); ([0, L] ).

Q8.3.5

В Упражнения 8.3.31-8.3.34 използвайте теорема 8.3.5a, за да намерите косинусовия ред на Фурие на (f ) на ([0, L] ).

31. (f (x) = 3x ^ 2 (x ^ 2-2L ^ 2) )

32. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

33. (f (x) = x ^ 2 (3x ^ 2-8Lx + 6L ^ 2) )

34. (f (x) = x ^ 2 (x-L) ^ 2 )

Q8.3.6

35.

  1. Докажете теорема 8.3.5b.
  2. В допълнение към предположенията на теорема 8.3.5b, да предположим, че (f '' (0) = f '' (L) = 0 ), (f '' ') е непрекъснат и (f ^ {( 4)} ) е частично непрекъснато на ([0, L] ). Покажете, че [b_n = {2L ^ 3 over n ^ 4 pi ^ 4} int_0 ^ L f ^ {(4)} (x) sin {n pi x over L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.7

В Упражнения 8.3.36-8.3.41 използвайте теорема 8.3.5b или, където е приложимо, Упражнения 8.1.35б за намиране на синусоида на Фурие от (f ) на ([0, L] ).

36. (f (x) = x (L-x) )

37. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

38. (f (x) = x (L ^ 2-x ^ 2) )

39. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + L ^ 3) )

40. (f (x) = x (3x ^ 4-10L ^ 2x ^ 2 + 7L ^ 4) )

41. (f (x) = x (3x ^ 4-5Lx ^ 3 + 2L ^ 4) )

Q8.3.8

42.

  1. Докажете теорема 8.3.5c.
  2. В допълнение към предположенията на теорема 8.3.5c, да предположим, че (f '' (L) = 0 ), (f '' ) е непрекъснат и (f '' ') е частично непрекъснат на ( [0, L] ). Покажете, че [c_n = {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' (x) sin {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. nonumber ]

Q8.3.9

В Упражнения 8.3.43-8.3.49 използвайте теорема 8.3.5c или където е приложимо, Упражнение 8.1.42б, за да се намери смесената косинусова редица на Фурие от (f ) на ([0, L] ).

43. (f (x) = x ^ 2 (L-x) )

44. (f (x) = L ^ 2-x ^ 2 )

45. (f (x) = L ^ 3-x ^ 3 )

46. ​​ (f (x) = 2x ^ 3 + 3Lx ^ 2-5L ^ 3 )

47. (f (x) = 4x ^ 3 + 3Lx ^ 2-7L ^ 3 )

48. (f (x) = x ^ 4-2Lx ^ 3 + L ^ 4 )

49. (f (x) = x ^ 4-4Lx ^ 3 + 6L ^ 2x ^ 2-3L ^ 4 )

Q8.3.10

50.

  1. Докажете теорема 8.3.5d.
  2. В допълнение към предположенията на теорема 8.3.5d, да предположим, че (f '' (0) = 0 ), (f '' ) е непрекъснат и (f '' ') е частично непрекъснат на ( [0, L] ). Покажете, че [d_n = - {16L ^ 2 over (2n-1) ^ 3 pi ^ 3} int_0 ^ L f '' '(x) cos {(2n-1) pi x over2L} , dx, quad n ge1. без номер]

Q8.3.11

В Упражнения 8.3.51-8.3.56 използвайте теорема 8.3.5d или, където е приложимо, Упражнение 8.3.50б, за да се намери смесената синусова редица на Фурие на (f ) на ([0, L] ).

51. (f (x) = x (2L -x) )

52. (f (x) = x ^ 2 (3L-2x) )

53. (f (x) = (x-L) ^ 3 + L ^ 3 )

54. (f (x) = x (x ^ 2-3L ^ 2) )

55. (f (x) = x ^ 3 (3x-4L) )

56. (f (x) = x (x ^ 3-2Lx ^ 2 + 2L ^ 3) )

Q8.3.12

57. Покажете, че смесената косинусова редица на Фурие от (f ) на ([0, L] ) е ограничението до ([0, L] ) от косинусовата поредица на Фурие на

[f_3 (x) = ляво { начало {масив} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

върху ([0,2L] ). Използвайте това, за да докажете теорема 8.3.3.

58. Покажете, че смесената синусова редица на Фурие на (f ) на ([0, L] ) е ограничението до ([0, L] ) на синусоидната редица на Фурие на

[f_4 (x) = ляво { начало {масив} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x) и L

върху ([0,2L] ). Използвайте това, за да докажете теорема 8.3.4.

59. Покажете, че синусоидната редица на Фурие на (f ) на ([0, L] ) е ограничението на ([0, L] ) на синусоидалната редица на Фурие на

[f_3 (x) = ляво { начало {масив} {cl} f (x), & 0 le x le L, - f (2L-x), & L

върху ([0,2L] ).

60. Покажете, че косинусовият ред на Фурие на (f ) на ([0, L] ) е ограничението до ([0, L] ) на косинусовия ред на Фурие на

[f_4 (x) = ляво { начало {масив} {cl} f (x), & 0 le x le L, f (2L-x) и L

върху ([0,2L] ).


Предговор

Този раздел е за Поредица на Фурие и основните му свойства. По-нататъшните дискусии и приложенията към тях са представени в следващите раздели.

Съдържание [скрий]

Върнете се на компютърната страница за първия курс APMA0330
Върнете се на компютърната страница за втория курс APMA0340
Върнете се към урока по Mathematica за първия курс APMA0330
Върнете се към урока по Mathematica за втория курс APMA0340
Върнете се на главната страница за първия курс APMA0330
Върнете се на главната страница за втория курс APMA0340
Върнете се към Част V от курса APMA0340
Въведение в линейната алгебра с Математика


Първи поглед към поредицата на Фурие: прелюдия към хармоничен анализ

В тази публикация в блога ще представя серията Fourier.

Определение: (Периодични функции)
Ако е положително реално число, тогава се казва, че е функция периодичен ако е вярно за всяко реално число.

Забележете, че дадена функция е периодична за някои, ако и само ако функцията е периодична, така че за да се разберат свойствата на периодичните функции е достатъчно да се разберат тези свойства за периодични функции.

Терминология: в този блог, освен ако не е посочено друго, като се казва a периодичен функция ще имаме предвид, че е периодична.

Упражнение 1:

Ако са периодични функции, тогава покажете, че за която и да е функция също е периодична.

Така множеството от всички периодични функции образува векторно пространство. Ние разглеждаме линейното подпространство на това векторно пространство, състоящо се от непрекъснати периодични функции, които обозначаваме с. В това векторно пространство дефинираме вътрешен продукт чрез настройка

Проверката дали (1) наистина определя вътрешен продукт е оставена като упражнение за читателите.

Упражнение 2:

Покажете, че функцията, както е дефинирана в (1), наистина е вътрешен продукт.

Както се оказва, важен клас периодични функции се състоят от експоненциалните функции, които дефинираме по-долу.

Определение (експоненциални функции)
За всяко цяло число, което дефинираме.
Тези функции s (за) се наричат ​​експоненциални функции.

Както се оказва, тези функции са линейно независими.

Доказателство: Имаме и за интегрирането е константната функция, така че за всяко, което получаваме.

Ако тогава откъде имаме и следователно следва, че ако.

Сега, да предположим, че имаме някои скалари

тогава от извода, изведен по-горе, следва, че

и по този начин поставянето се получава чрез линейност и по този начин следва, че функциите са линейно независими.

И накрая от изцяло паралелен аргумент следва, че ако дадена функция е изразима като

за някои коефициенти след това за всеки.

С оглед на предложение 3 вече може да се желае да се получи израз за функция като линейна комбинация от експоненциалните функции. Но както може да се види, това не бива да се изпълнява за всяка функция, тъй като може да има много лошо поведени непрекъснати периодични функции, които не могат да бъдат изразени като крайна сума от гладките експоненциални функции. Въпреки това имаме важен резултат, който казва, че всяка такава функция може да бъде апроксимирана в смисъл чрез последователност от частични суми на експоненциални функции и това ни води до важната теория на редиците на Фурие.

Определение (норма)
За функция дефинираме нейната норма, написана така, че да бъде дефинирана от
.

Упражнение 4:

Покажете, че както е дефинирано в (3), наистина е над нормата.

Шоу, което се простира до пространството на всички периодични функции, които са интегрируеми по Риман, но губи своята положителна определеност тук.

Оказва се, че е по-подходящо да се справим с по-големия клас на интегрируеми периодични функции на Риман.

Определение (коефициенти на Фурие)
За функция и цяло число дефинираме th коефициент на Фурие да бъде количеството.

На първо място, за да бъде валидно определението на коефициентите на Фурие (както е дадено по-горе), трябва да гарантираме, че количеството наистина съществува и доказването на това е оставено като упражнение за читателите.

Упражнение 5

Покажете, че ако тогава.

По-нататък бихме искали да покажем, че поредицата от частични суми се сближава с функцията в нормата. За това се нуждаем от мощния инструмент за неравенството на Бесел.

Лема 6 (идентичност на Бесел)
Нека и за всеки да означим th-ия коефициент на Фурие на. Тогава за всичко, което имаме

и по този начин искът следва.

Теорема 7 (неравенството на Бесел)
Ако с коефициентите на Фурие, тогава има

Доказателство: Резултатът следва от (4), като се вземе от дясната страна.

конвергенция

В предишния раздел вече въведохме нормата на функция и както е отбелязано в упражнение 4, тази норма може да бъде разширена до псевдонорма (т.е. функция, която удовлетворява всички свойства на норма, с изключение на положителната определеност) над пространството на всички интегрируеми периодични функции на Риман. Конвергенцията по отношение на тази (псевдо) норма се нарича конвергенция. С по-точен тон имаме следното определение.

Определение (конвергенция)
Казваме, че се казва, че последователност от функции се сближава в норма към функция, ако разстоянието като

Двете други полезни понятия за конвергенция са точкова конвергенция и еднаква конвергенция. Нека видим как конвергенцията е свързана с тези начини на конвергенция. Оказва се, че сближаването и точковото сближаване са в известен смисъл несъвместими в смисъл, че никой от тях не предполага другия.

Упражнение 8:

Позволявам е поредица от функции в.

(i.) Покажете, че ако се сближава към функция в нормата и към функция по посока, тогава трябва да имаме.

(ii.) Изградете такава последователност от функции, която се сближава по посока към функция, но не се сближава с никоя функция в нормата.

(iii.) Конструирайте такава последователност от функции, която се сближава към функция в нормата, но не се сближава към която и да е функция по точка.

Следователно, както виждаме от горното упражнение, точковото сближаване не означава сближаване в нормата. Но по-силната представа за еднакво сближаване наистина предполага сближаване в нормата.

Предложение 9
Ако последователност от функции в се сближава равномерно към функция, тогава се сближава до в нормата.

Доказателство: Нека тогава съществува такова, че за всеки и всеки един има и по този начин вземаме от двете страни ни дават и по този начин претенцията следва.

Сега сме в състояние да изложим първата основна теорема в тази публикация в блога.

Теорема 10
Ако тогава редицата на Фурие се сближава до нормата.

Има няколко начина за доказване на сходимостта на редиците на Фурие, тук обсъждаме едно от най-елементарните доказателства за резултата. Следващата формула ще играе ключова роля в нашето доказателство за теорема 10.

Упражнение 11:

За покажете това

Определение (стъпкова функция на Риман)
Защото ние дефинираме неговата индикаторна функция или характеристична функция, която да бъде определена от дали и по друг начин.
Позволете да е подинтервал на стъпкова функция на Риман е функция на формата за някои реални коефициенти s.

Упражнение 12:

Покажете, че ако е стъпкова функция на Риман и ако се разширим, като дефинираме според уравнението за всяка, тогава покажете, че

По този начин вече можем да говорим за доказване на теорема 10 за специалния клас на стъпковите функции на Риман.

Лема 13:
Позволявам да бъде такъв, че е функция на стъпка на Риман. Тогава поредицата на Фурие се сближава до нормата.

Всъщност се оказва, че доказването на теорема 10 за този специален случай е достатъчно добро.

Упражнение 13:

Покажете, че теорема 10 и лема 13 са логически еквивалентни.

Поради това е достатъчно да докажем лема 13. Можем да направим някои допълнителни опростявания.

Упражнение 14:

Покажете, че ако редът на Фурие на функция сближава по норма към и поредицата на Фурие на функция сближава по норма към и са три произволни реални константи, следното е вярно:

(i.) Редицата на Фурие на функцията се сближава в норма.

(ii.) Редицата на Фурие на функцията се сближава с функцията в нормата.

По този начин е достатъчно да се докаже лема 13 в специалния случай, когато за някои е характеристичната функция на интервал от формата, тъй като всяка стъпкова функция на Риман може да бъде записана като реална линейна комбинация от характеристичната функция на транслати на крайно много интервали от формата .

Доказателство за лема 13: Достатъчно е да се покаже това, благодарение на идентичността на Бесел. Първо ще покажем това за специалния случай, когато за някои

В този случай коефициентите на Фурие от са и

Сега използвайки (5) можем да изчислим

И прякото изчисление също показва това, като по този начин доказва твърдението.

Серията Fourier се радва на няколко други интересни свойства, но няма да ги обсъждаме тук, тъй като тази публикация в блога е предназначена за първо четене в темата.


Серия Фурие

Това е кратко сведение към поредицата на Фурие, обхващащо история, основни теми, теореми, примери и приложения. Може да се използва за изучаване на предмета, както и за допълване, подобряване и украсяване на бакалавърски курсове по математически анализ. Книгата започва с кратко резюме на богатата история на сериите на Фурие през три века. Темата е представена по начин, който позволява на читателя да разбере как една математическа теория се развива на етапи от практически проблем (като проводимост на топлина) до абстрактна теория, занимаваща се с понятия като множества, функции, безкрайност и конвергенция. Тогава абстрактната теория предоставя непредвидени приложения в различни области. Авторът започва с описание на проблема, който накара Фурие да представи известната си поредица. След това математическите проблеми, до които това води, се обсъждат стриктно. Представени са примери, упражнения и насоки за по-нататъшно четене и изследване, заедно с глава, която предоставя материали на по-напреднало ниво, подходящи за студенти. Авторът демонстрира приложения на теорията за широк кръг от проблеми. Упражненията с различни нива на трудност, които са разпръснати из цялата книга, ще помогнат на читателите да проверят разбирането си за материала.

Отзиви и препоръки

Тази книга е много четимо въведение към поредицата на Фурие, подходяща за учени и инженери. Тя е поръсена с намеци за по-скорошни събития и има много приятни исторически коментари, които ще заинтригуват най-добрите студенти и специалности по математика. Авторът почти разговаря с читателите и умело подчертава важното. Прилично количество материал е в обширния набор от упражнения. Ако този много хубав текст беше на разположение, когато преподавах, щях да го използвам за курс за младши и по-старши учебен курс по специалности по математика.


Предишни съответни изследвания

Gueudet and Quéré (2018) повдигат въпроса за това как преподаването на математика може да отговори на нуждите на инженерните курсове и какви трябва да бъдат характеристиките на това обучение. Flegg и сътр. (2012) споменават, че има различни виждания по отношение на степента на строгост и формалност в инженерната математика. Те твърдят, че „без изричната връзка между теорията и практиката, математическото съдържание на инженерните програми може да не се разглежда от студентите като релевантно“ (Flegg et al., 2012, стр. 718). Те също така твърдят, че в случаите, когато математическите катедри преподават математическото съдържание на студентите по инженерство, инженерните отдели може да имат малка представа за това на какво математическо съдържание са изложени студентите.

Biehler, Kortemeyer и Schaper (2015) изследват първа година курс по електротехника, анализирайки задачи, които изискват знания и познавателни ресурси както от математиката, така и от електротехниката. Те идентифицираха случаи, в които имаше разлика между научената математика, в училище или в университета, и математиката, необходима за решаване на инженерни задачи. Gueudet и Quéré (2018) подчертават необходимостта от осъществяване на връзки и обсъждат свързаността на няколко нива. Тук свързаността на микро ниво може да бъде например връзки между различни тематични области, между различни семиотични представяния и между различни концепции.

Наскоро няколко изследователи показаха как ATD може да бъде полезен инструмент за изследване на математиката за потребителски групи, като студенти по инженерство. Hochmuth, Biehler and Schreiber (2014) обсъждат и противопоставят използването на моделиращи цикли с използването на ATD за изучаване на епистемични връзки между математиката в курсовете за висша математика и математиката в инженерните курсове. Те твърдят, че ATD може да бъде подходящ инструмент, който да се използва, например, за справяне с въпроси като „[кои] значения се актуализират в контекста на конкретни задачи и ситуации?“ (Hochmuth et al., Стр. 697). Петерс, Хохмут и Шрайбер (2017) използват това, което те наричат ​​разширен праксеологичен ATD-модел, за да анализират връзката между различни математически дискурси в инженерни курсове, като Сигнали и Теория на системата. Тук 4-Т моделът се разширява в смисъл, че техниките и технологиите са разделени на два клона, въз основа на това дали обосновката идва от електротехнически или физически разсъждения, или от математически разсъждения. Това е подобно на моето разграничение между дидактическите системи и съответните праксеологии BM и Е..

От особено значение за моето проучване са няколко скорошни статии на González-Martín и Hernandes-Gomes (2017, 2018, 2019a, b). Тези автори сравняват презентациите в учебниците по Calculus с презентациите в учебниците за професионални инженерни курсове, за да видят до каква степен концепциите и техниките от Calculus са необходими за справяне със задачите в инженерните теми. Сега ще дам кратък отчет за тяхната работа.

В първата от гамата статии (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2017) авторите разглеждат използването на интеграли във връзка с огъващи моменти в гражданското и машиностроенето. Важна част от техния анализ се основава на анализ на части от учебник в смятане и части от учебник в курс „Сила на материалите“, използван за същите ученици. Те открили, че въпреки че понятието интеграл се използва за преподаване на темата за огъващите моменти в инженерния курс, техниките разчитат най-вече на геометрични съображения. Те откриха, че учебникът в инженерния курс избягва използването на обозначения и свойства, институционализирани в смятането, и стигнаха до заключението, че начинът, по който се преподават интегралите в курса по смятане, следва математически практики, които са твърде далеч от начина, по който интегралите се използват в професионалните курсове. В две други статии (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2018, 2019a) същите автори разследват използването на интеграли за изчисляване на първите моменти за равнинните области в курса по гражданско инженерство. Също така в този случай те откриха, че задачите и техниките, разработени в инженерния курс, не произтичат от математиката, а от инженерния дискурс и че само в технологията (θ) се появяват интегралите (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019а, стр. 283). В най-новата статия (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b) авторите разширяват своите изследвания върху използването на интеграли в електромагнетизма. Изглежда, че и в този случай резултатите сочат в същата посока, както при предишните разследвания. Интегралите се използват за дефиниране на въпросните понятия, но задачите могат да бъдат решени с помощта на геометрични съображения, таблици и готови за използване формули (González-Martín & amp Hernandes-Gomes, 2019b). Следователно важни са концептуалните аспекти на интеграла, а не техниките за изчисление.

Има и интересни изследвания, в които не се използва ATD, сравняващи учебниците по математика с учебниците, използвани в инженерните области. Като пример, Alpers (2017) изследва два учебника по инженерна статика, един от САЩ и един от Германия, и сравнява представянето в тези книги с това, което той описва като „обичайното лечение в учебниците по математика“ (Alpers, 2017, p 137). Това означава, че той не се е консултирал с един конкретен учебник по математика, но разчита на възприятието си за това какво би било общото лечение в математическите книги. Извършвайки анализ на документи на двата учебника от инженерството, той откри съществени разлики по отношение на концепцията, конструкцията и нотацията на векторите, както и използването на диференциали и концепцията и нотацията на виртуалните премествания. Той твърди, че разликите между представянето в изследваните учебници и стандартното представяне по математика съдържат потенциал за когнитивни несъответствия между ученето на учениците по математика и по статика (Alpers, 2017, стр. 140).

Работата по машиностроене, спомената по-горе, показва доста голяма разлика между праксеологиите в математиката и частите от инженерството. Ще добавя към съществуващата литература чрез сравняване на праксеологиите в математиката и теорията на сигналите.


Фурие анализ Въведение Глава 3 Упражнение17

[Съвет: Може да се предположи, че $ f $ се увеличава и да се каже $ | f | le M. $ Първо проверете дали коефициентите на Фурие на характерната функция на $ [a, b] $ удовлетворяват $ O (1 / | n |). $ Сега покажете, че сума от формата $ sum_^ alpha_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) $ с $ - pi = a_1 & lta_2 . & lta_N & lta_= pi $ и $ -M le alpha_ <1> le. le alpha_ le M $ има коефициенти на Фурие, които са $ O (1 / | n |) $ равномерно в $ N $. Сумирайки по части, се получава телескопична сума $ sum ( alpha_- alpha_) $, които могат да бъдат ограничени от $ 2M. $ Сега приблизително от функцията на горния тип.]

Наистина не знам как да изчисля: $ int _ <- pi> ^ < pi> sum_^ alpha_ chi _ <[a_k, a_k + 1]> (x) e ^ <-inx> dx $ Тъй като не знам каква характерна функция се използва в този случай.


8.3E: Серия Фурие II (Упражнения) - Математика

Линейни методи на приложна математика

Евънс М. Харел II и Джеймс В. Херод *

* (c) Авторско право 1994,1997,2000 от Evans M. Harrell II и James V. Herod. Всички права запазени.

Ако искате да отпечатате добре форматирана версия на тази глава, можете да изтеглите rtf файла, който ще бъде интерпретиран и отворен от Microsoft Word или pdf файла, който ще бъде интерпретиран и отворен от Adobe Acrobat Reader.

IV. Изчисляване на редове на Фурие

В този раздел изчисляваме няколко серии на Фурие. Както знаем, намирането на серия на Фурие просто означава изчисляване на различни интеграли, което често може да се направи със софтуер или с интегрални таблици. Тъй като изпълнението на интеграли не е много по-интересно в съвременната епоха от дългото разделение, целите ни в този раздел ще бъдат да получим визуално и аналитично впечатление за това какво да очакваме от серията на Фурие и да разберем кръга на симетрията в изчисленията. Много от изчисленията в тази глава са достъпни в тетрадка на Mathematica или в работен лист на Maple.

Нека започнем с оценяване на редиците на Фурие за функциите:

Дължината L е избрана като.

Искаме да представим тези функции във формата, започваща с f (x).

Моделен проблем IV.1. Използвайте софтуер за изчисляване на пълната серия на Фурие за функцията f (x), както е дефинирана по-горе, и изследвайте нейната конвергенция.

Решение. Формулите за тези коефициенти са дадени в глава II: (т.е. средната стойност на f), а за останалите коефициенти:
и
Ето резултатите от изчислението (вижте тетрадка или работен лист): a0 = 1/2
ам = 0 за m = 1, 2,.
бн = (1 - (-1) n) / (n) Точка за размисъл: защо всички aм = 0? Със сигурност това не е случайно!

Видът израз, който получихме за bн опростява по начин, който често възниква в редици на Фурие за елементарни функции: Ако n = 2k е четно, b2k = 0. По този начин оцеляват само нечетни термини, в който случай b2k + 1 = 2 / ((2k + 1)). Можем да начертаем поредицата на Фурие и да гледаме как тя се сближава с оригиналната функция, тъй като се включват все повече и повече термини (вижте бележника или работния лист за изчисленията):

И така нататък. Обръщаме внимание на системното превишаване, което се случва по краищата на скока. Любопитното е, че размерът на това последно превишаване не е склонен към 0, тъй като включваме повече термини. (Можете да видите това в анимация, подготвена за нас от студента от Georgia Tech Ning Wu, фактът, че функцията на Ning има вертикален диапазон -1 до 1, не е от значение за тази цел.) Изпъкналостите до скока стават по-тънки, отколкото по-кратки. Това е известно като феномена на Гибс.

Моделен проблем IV.2. Сега можем да изследваме някои въпроси относно възбуждането на механичните резонанси. Да предположим, че експериментите на К. Битка при Wiener Staatsoper в Австрия показват, че кристален бокал ще се разбие, ако интензивността на тона при честота 1760 Hz (високо А) надвиши .01. Използваме физически единици, при които пропорционалността между мощността и квадрата на амплитудата е 1, т.е.определяме интензивността просто като I = aк 2 + bк 2. В Georgia Tech, не особено музикално място, можем да генерираме квадратен импулс с амплитуда А за 1/704 сек., След това амплитуда 0 за същия период от време, след това А и т.н., периодично с период 1/352.

Въпрос: Каква амплитуда А ще накара стъклото да се счупи в нашата лаборатория?

Решение. Въпросът е по същество да се изчисли величината на коефициента на Фурие за нашата функция, съответстваща на честотата 1760 херца.

Съпоставянето от функции към техните коефициенти на Фурие е линейно. Следователно коефициентите могат да бъдат получени от тези, които току-що изчислихме.

Стъпка 1. Мащабирайте независимата променлива, като замените x с t и L с 1/352.

Стъпка 2. Умножете всички коефициенти по А.

Хармоникът с честота 1760 е този с n = 5, така че коефициентите на Фурие, съответстващи на тази честота, са5 = 0 и
б5 = 2A / (5) Интензивността е 4 A 2 / (25 2). Амплитудата А, над която стъклото ще се разбие, е / 4, числово около 0,78539816.

Моделен проблем IV.3. За сравнение, нека намерим друга серия на Фурие, а именно тази за периодичното удължаване на g (x) = x, 0 тетрадка или работен лист Maple. За x между 1 и 2, функцията е (x-r1L), за x между 2 и 3 е (x-2) и др. Графиката й има форма на трион:

Тъй като интервалът има дължина 1, базисните функции на Фурие са 1, cos (2n x) и sin (2n x).

Коефициентите на Фурие се изчисляват като: a0 = 1/2
ам = 0 за m = 1, 2,.
бн = (-1) / (n) Коефициентите aм всички са нула, отново. Защо?

Нека да получим впечатление за това как се сближава поредицата, като начертаем приноса на първите два синуса и след това на шест синуса:

Припомняме също така, че на по-дълъг интервал серията на Фурие произвежда периодична функция:

Поредицата на Фурие се сближава добре с функцията, с изключение на крайните точки на интервала, които са места, където пълната периодична функция на трион-зъб има скокове и ние видяхме нещо подобно с квадратния импулс. И в двата случая виждаме числени доказателства за теоремата, че серията на Фурие се сближава към f (x), където f (x) е непрекъсната, а където има скок, серията на Фурие се сближава към средната стойност на горната и долната стойност при скокът.

Нека изпробваме различен пример, където трябва да се интегрираме числово (вижте тетрадката).

Моделен проблем IV.4. Намерете серията на Фурие за функцията sin (/ x).

Решение. Интегралите, за които се изисква, не са в интегралните таблици. Наистина, най-много& # 160 интегралите не са в интегралните таблици, дори когато не са толкова близки като тази функция (запитайте се какво се случва близо до x = 0). В информационната ера това не е бариера. Ние просто призоваваме софтуера да направи интегралите цифрово. Тъй като функцията sin (/ x) е нечетна по x, коефициентите, свързани с четните функции, aм, всички ще бъдат нула. С някои оплаквания относно конвергенцията, софтуерът изчислява първите шест синусоидни коефициента като: Нека начертаем редицата на Фурие с тези шест термина и сравним със самата функция:

Забележете, че конвергенцията е доста добра далеч от неприятната сингулярност при x = 0. Всъщност отрязването на поредицата на Фурие е филтрирало високочестотните трептения.

Моделен проблем IV.5. Намерете серията на Фурие за функция, която е интегрируема в квадрат, но има безкраен скок.

Решение. Примерът, който разглеждаме, е x -1/3. Подобно на предишния пример, функцията е странна и ще има само синусоидни вноски. Първите няколко коефициента са числено: Ето сравнение на функцията и нейното приближение на Фурие:

Помислете за изчислението на серията при x = 0 и при x = + / - 1. Случи ли се това, което очаквахте?

Както видяхме при изчисленията, симетриите могат да се използват за опростяване на изчисляването на редици на Фурие. Спомнете си, че функция е четна, ако f (-x) = f (x) за всички x и нечетна, ако f (-x) = -f (x) за всички x. Ако f е периодична четна функция, тогава всички синусови коефициенти bн = 0: bн е вътрешното произведение на f със синусова функция, но всяка четна функция и всяка нечетна функция са ортогонални на интервала [-A, A]. (Ако f (x) е периодичен с период L, тогава можем да го анализираме на всеки интервал с дължина L, така че дори ако първоначално е дефиниран на [0, L], можем също така да го разгледаме на [-L / 2, L / 2]. Погледнете графика на периодична функция, за да разберете защо.) По подобни причини, ако f е периодична и нечетна, всички коефициенти aм = 0.

Всяка функция може да бъде записана като сбор от четна функция и нечетна функция, а поредицата на Фурие избира двете части. Ако например искаме да намерим редицата на Фурие на функция като x - x 2, -, можем да спестим малко работа, като помислим за симетриите.

Моделен проблем IV.6. Използвайте симетрии, за да намерите ефективно редовете на Фурие за функцията x - x 2 на интервала - & lt x & lt.

Решение. Тази функция не е нито четна, нито нечетна, когато променим x в -x, но нейната "нечетна част" е x, а нейната "четна част" е -x 2. Коефициентите на синус в поредицата на Фурие ще идват изцяло от нечетната част, а четните коефициенти изцяло от четната част -x 2 е ортогонална на всички косинусови функции на Фурие, а x е ортогонална на всички синусови функции на Фурие. Освен това симетрията може да се използва за промяна на обхвата на интегриране, така че да започва от 0:

Коефициентите bн се изчисляват, както следва:
   
Продуктът на две нечетни функции е четен, така че този интеграл е:
   
Крайният резултат е изчислен от софтуер. В клас на смятане вероятно бихте го изчислили чрез интегриране по части. Изчисляването на коефициентите an също може да бъде опростено. Първо, обърнете внимание, че само -x 2 допринася:
   
Стойността на този интеграл е
   

Когато ги комбинирате, имате коефициентите на Фурие за x - x 2 на този интервал.

Който и да е бил маркетинговият експерт, с когото са се консултирали, когато са измислили „комплексни числа“, трябва да бъде уволнен! Сложните числа почти винаги улесняват нещата и това важи по-специално за сериите на Фурие. Ключът към опростяването е формулата на Ойлер: eix: = exp (ix): = cos (x) + i sin (x), & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 (4.1) Полезно е да се знаят няколко специални случая, особено exp (in) = (- 1) п.
и
exp (i (2k + 1) / 2) = (-1) ki, формулата на Ойлер ни позволява да обсъждаме комплексни числа не само в декартовата система, z = x + iy, но и в полярната система: z = r exp (i ), where , the argument of z, is the polar angle in the complex plans, and r = |z| (the modulus of z) is the distance from the origin. One of the truly great things about this formula is that is allows us to replace calculations with trigonometric functions with much easier calculations with exponential functions. As an example, let us think of how to calculate the Fourier series for the function f(x) = x, 0

If you don't have software or integral tables handy, you can do these integrals with integration by parts. Or you can reason as follows:

Model Problem IV.7. Evaluate this integral by a method different from integration by parts.

Решение. We can use the following useful trick:

After the calculation, we set A=2 i m/L. Calling the integral in (4.2) INT, we find

which starts looking nice after we substitute A=2 im/L, which reveals that these exponential terms are both equal to 1:

This is purely imaginary, so all aм = 0.

Model Problem IV.8. Evaluate the coefficients bн with a similar method.

Решение. STOP! Don't go back to the beginning of the calculation. We don't have to start all over, since

which is the integral we already did. From (4.3) we see that this imaginary part is just

Actually, we can be much more systematic if we simply replace the complete set of functions (2.8) by (2.9):

These are simply related to the sines and cosines by Euler's formula (4.1) and its easy consequence:

Definition IV.9. The Fourier exponential series is an expansion (for an arbitrary square-integrable function):

Since the exponential functions are an orthonormal set, a familiar kind of calculation shows us that the formula for cк is:

Notice the tricky minus sign - this is a place where the complex conjugate in the inner product is important.

Let's observe how much more convenient this formula is than the one without complex numbers. There is only one sum, not two sums and a constant term. There is only one formula for cк, not separate ones for a0, aм, and bн. The constant term c0 fits in with all the others, for instance, and is not put aside as a special case. The Parseval formula (3.4) is now much simpler:

Here, the coefficients for g have the tildes. В частност,

Notice that the Parseval formula is similar to the Pythagorean theorem, since, other than the normalization factor L, it states that a certain length squared is equal to the sum of the squares of its components in an orthogonal basis. We see here, however, that the space in which f lives is infinite-dimensional.

The important thing to know is that the Fourier exponential series is completely equivalent to the usual "full" Fourier series. We will later look at the Fourier sine and Fourier cosine series, which are truly different series, but the exponential series is not. If we substitute with Euler's formula, the full series becomes the exponential series or обратно. We can recombine cк with c-k as follows:


Относно

The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Fourier series and the Fourier transform with applications to solving linear partial differential equations. The Laplace transform with applications to solving ordinary differential equations and integral equations. Numerical methods: Interpolation, differentiation, and integration. Methods for solving linear and non-linear systems of equations. Runge-Kutta methods for solving systems of ordinary differential equations. Difference methods for solving partial differential equations. Introduction to computational tools with examples.

Learning outcome

1. Knowledge. The student is able to recognize, understand and apply concepts and methods from the theory of Fourier series, Fourier transformation, Laplace transformation, ordinary and partial differential equations and numerical solution of systems of equations and differential equations. 2. Skills. The student is able to apply his or her knowledge of Fourier theory, ordinary and partial differential equations and numerical methods to formulate and solve problems in mathematics and the natural sciences/technology, if necessary with the additional aid of mathematical software.

Learning methods and activities

Lectures and compulsory exercises. Grade based on written final examination. Retake of examination may be given as an oral examination. The course may be lectured in English.

Compulsory assignments

Further on evaluation

See «Teaching methods and activities».

Specific conditions

Compulsory activities from previous semester may be approved by the department.


Active Learning Resources forMathematical Methods in Engineering and Physics

"The only way a skill is developed—skiing, cooking, writing, critical thinking, or solving thermodynamics problems—is practice: trying something, seeing how well or poorly it works, reflecting on how to do it differently, then trying it again and seeing if it works better."
-Richard Felder

The practice of "active learning" uses student-centered activities in class to encourage them to adopt an engaged and reflective attitude. See www.ncsu.edu/effective_teaching/Student-Centered.html for a general introduction to active learning, and a list of relevant publications.

Research has validated the success of this approach for student understanding and retention, but as an instructor you may have found that supporting students in active learning requires a lot of work. Traditional textbooks and other available resources can be at cross-purposes with active learning and require not just your own creativity but many long hours to rework these materials into an active form. The materials that have been developed to support active learning are mostly at the introductory level.

Thanks to a grant from NSF we have been able to develop a full set of active-learning based "motivating" and "discovery" exercises and computer-based problems for math methods courses for physicists and engineers.

These exercises and computer problems are all incorporated in our math methods textbook. Click here for information about the book.

Exercises

    A "motivating exercise" sets up the physical motivation for a given mathematical technique. When you are done with the "Taylor Series" motivating exercise you don't know how to build a Taylor series, but you know why you might want one.

All of the individual exercises are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.

At home or in class? Alone or in groups?
Mix it up. See what works for you. We sometimes assign them as homework due on the day we are going to cover the material, and sometimes as an in-class exercise to begin the lecture. You can have students do them individually or in groups, or a mix of the two. One professor we spoke to starts them in class, and then has her students finish them at home&mdashan approach we never even thought of. You will probably keep your students' interest better if you vary your approach.

Do I need to assign all the exercises?
No. If you are uncomfortable with the process, you may want to try only one or two. We hope you will find them easy to use and valuable, and over time you will use them more, but you will probably never use them all.

How long do they take?
Some are five minutes or less some are twenty minutes or even more. Very few of them should take the students more than half an hour.

That was all pretty noncommittal. Do you have any solid advice at all?
Actually, we do. First, we hope you will use at least some of the exercises, because we believe they contribute a valuable part of the learning process. Second, exercises should almost always be used before you introduce a particular topic&mdashnot as a follow-up. You can start your lecture by taking questions and finding out where the students got stuck.

The "Linear Algebra" Motivating Exercise (The Three-Spring Problem)

This exercise is very different from the rest. It starts with an Explanation (with nothing for the student to do except read it), and then a set of Problems meant to help the students explore the Explanation. A professor would assign a carefully chosen subset of those Problems, not all of them. In all those senses this is like a typical section of our book, rather than being like an exercise.

But the entire section does not teach the first thing about matrices! It sets up a problem and steps through the solution, leaving holes that will be filled in with matrices. In that sense, it is very much like most of our other motivating exercises.

We find this to be a powerful way to introduce linear algebra and tie together many of the most important topics in that field, but it only makes sense to use this if you keep referring back to it throughout the unit. When you teach them how to use matrices to change bases, have them use that to convert between initial positions and amplitudes of normal modes. When you teach eigenvectors and eigenvalues, have them derive the normal modes of the coupled springs as eigenvectors of the matrix of coefficients. The exercise sets this up by pointing out which linear algebra topics will be used for various parts of the solution.

At the end of the unit you can come back and tie it all together with a section where we revisit the three spring problem, using linear algebra in every step of the solution.

Computer Problems

Computers can be used in a number of ways in math methods courses: to illustrate complicated math problems, to apply techniques to problems too complicated to solve by hand, or to skip tedious algebra steps and focus on the math you're trying to teach. In addition, computer skills may be one of the things you want to teach in your class.

The problems below are all platform independent. The instructions simply tell the students what to do, but the details of how to do it will of course be different if they are using Mathematica, Matlab, Maple, or some other platform.

The computer problems for all of the topics are listed below, but you can also download the entire set as a zip file.


Formative

This is how we’ll give you feedback as you are learning. It is not a formal test or exam.

Exam Weekly exercises / tests and assignments

Summative

This is how we’ll formally assess what you have learned in this module.

Referral

This is how we’ll assess you if you don’t meet the criteria to pass this module.

Repeat

An internal repeat is where you take all of your modules again, including any you passed. An external repeat is where you only re-take the modules you failed.