Статии

5.8: Линейни уравнения в две променливи


Решения за линейни уравнения в две променливи

Решение на уравнение в две Променливи

Открихме, че уравнението е математически начин за изразяване на връзката на равенството между величините. Ако връзката е между две величини, уравнението ще съдържа две променливи. Казваме, че уравнение в две променливи има решение, ако е подредено двойка на стойности могат да бъдат намерени така, че когато тези две стойности се заменят в уравнението, ще се получи истински израз Това се илюстрира, когато наблюдаваме някои решения на уравнението (y = 2x + 5 ).

( започнете {масив} {l}
x = 4, y = 13; quad text {тъй като} 13 = 2 (4) +5 text {е вярно}
x = 1, y = 7; quad text {тъй като} 7 = 2 (1) +5 text {е вярно. }
x = 0, y = 5; quad text {тъй като} 5 = 2 (0) +5 text {е вярно. }
x = -6, y = -7; quad text {тъй като} -7 = 2 (-6) +5 text {е вярно. }
end {масив} )

Подредени двойки като решения

Важно е да се има предвид, че решение на линейно уравнение в две променливи е подредена двойка стойности, по една стойност за всяка променлива. Решението не е напълно известно до стойностите на и двете променливите са посочени.

Независими и зависими променливи

Спомнете си, че в уравнение всяка променлива, чиято стойност може да бъде свободно присвоена, се казва като независима променлива. Всяка променлива, чиято стойност се определя след присвояване на другата стойност или стойности, се казва, че е зависима променлива. Ако в линейно уравнение независимата променлива е x и зависимата променлива е y, а решение на уравнението е x = a и y = b, решението се записва като

ПОРЪЧАНА ДВОЙКА: ((a, b) )

Подредени Сдвояване

В един подредена двойка, ((a, b) ), първият компонент, (a ), дава стойността на независимата променлива, а вторият компонент, (b ), дава стойността на зависимата променлива.

Можем да използваме подредени двойки, за да покажем някои решения на уравнението (y = 6x − 7 ).

Пример ( PageIndex {1} )

((0, -7))

Ако (x = 0 ) и (y = -7 ), получаваме вярно изявление при заместване и изчисление

( започнете {масив} {flushleft}
y & = & 6x-7
-7 & = & 6 (0) -7 & text {Правилно ли е това?}
-7 & = & - 7 & text {Правилно ли е това?}
-7 & = & 41 & text {Да, това е правилно}
end {масив} )

Пример ( PageIndex {2} )

((8, 41))

Ако (x = 8 ) и (y = 41 ), получаваме вярно изявление при заместване и изчисление

( започнете {масив} {flushleft}
y & = & 6x-7
41 & = & 6 (8) -7 & text {Правилно ли е това?}
41 & = & 48-7 & text {Правилно ли е това?}
41 & = & 41 & text {Да, това е правилно}
end {масив} )

Пример ( PageIndex {3} )

((-4, -31))

Ако (x = 8 ) и (y = 41 ), получаваме вярно изявление при заместване и изчисление

( започнете {масив} {flushleft}
y & = & 6x-7
-31 & = & 6 (-4) -7 & text {Правилно ли е това?}
-31 & = & - 24-7 & text {Правилно ли е това?}
-31 & = & - 31 & text {Да, това е правилно}
end {масив} )

Това са само три от безкрайно много решения на това уравнение.

Пробен комплект А

Намерете решение на всяко от следните линейни уравнения в две променливи и напишете решението като подредена двойка.

Пример ( PageIndex {4} )

(
y = 3 x-6, text {ако} x = 1
)
Заместете 1 за (x ), изчислете и решете за (y ).
(
начало {подравнено}
y & = 3 (1) -6
&=3-6 \
&=-3
end {подравнено}
)
Следователно едно решение е ((1, -3) ).

Пример ( PageIndex {5} )

(
y = 15-4 x, text {if} x = -10
)
Заместете -10 за (x ), изчислете и решете за (y ).
(
начало {подравнено}
y & = 15-4 (-10)
&=15+40 \
&=55
end {подравнено}
)
Следователно едно решение е ((- 10,55) ).

Пример ( PageIndex {6} )

(
b = -9 a + 21, text {if} a = 2
)
Заместете 2 за (a ), изчислете и решете за (b ).
(
начало {подравнено}
b & = - 9 (2) +21
&=-18+21 \
&=3
end {подравнено}
)
Следователно едно решение е ((2,3) ).

Пример ( PageIndex {7} )

(5 х-2 у = 1, текст {ако} х = 0 )
Заместете 0 за (x ), изчислете и решете за (y ).
(
начало {подравнено}
5 (0) -2 y & = 1
0-2 y & = 1
-2 y & = 1
y & = - dfrac {1} {2}
end {подравнено}
)
Следователно едно решение е ( ляво (0, - dfrac {1} {2} дясно) ).

Практически комплект А

Намерете решение на всяко от следните линейни уравнения в две променливи и напишете решението като подредена двойка.

Практически проблем ( PageIndex {1} )

(y = 7x − 20 ), ако (x = 3 )

Отговор

((3, 1))

Практически проблем ( PageIndex {2} )

(m = −6n + 1 ), ако (n = 2 )

Отговор

((2, −11))

Практически проблем ( PageIndex {3} )

(b = 3a − 7 ), ако (a = 0 )

Отговор

((0, −7))

Практически проблем ( PageIndex {4} )

(10x − 5y − 20 = 0 ), ако (x = −8 )

Отговор

((−8, −20))

Практически проблем ( PageIndex {5} )

(3a + 2b + 6 = 0 ), ако (a = −1 )

Отговор

((- 1, dfrac {-3} {2}) )

Упражнения

За следните проблеми решете линейните уравнения в две променливи.

Упражнение ( PageIndex {1} )

(y = 8x + 14 ), ако (x = 1 )

Отговор

((1,22))

Упражнение ( PageIndex {2} )

(y = −2x + 1 ), ако (x = 0 )

Упражнение ( PageIndex {3} )

(у = 5х + 6 ), ако (х = 4 )

Отговор

((4,26))

Упражнение ( PageIndex {4} )

(x + y = 7 ), ако (x = 8 )

Упражнение ( PageIndex {5} )

(3x + 4y = 0 ), ако (x = −3 )

Отговор

((- 3, dfrac {9} {4}) )

Упражнение ( PageIndex {6} )

(- 2x + y = 1 ), ако (x = dfrac {1} {2} )

Упражнение ( PageIndex {7} )

(5x − 3y + 1 = 0 ), ако (x = −6 )

Отговор

((- 6, - dfrac {29} {3}) )

Упражнение ( PageIndex {8} )

(- 4x − 4y = 4 ), ако (y = 7 )

Упражнение ( PageIndex {9} )

(2x + 6y = 1 ), ако (y = 0 )

Отговор

(( dfrac {1} {2}, 0) )

Упражнение ( PageIndex {10} )

(- x − y = 0 ), ако (y = dfrac {14} {3} )

Упражнение ( PageIndex {11} )

(у = х ), ако (х = 1 )

Отговор

((1,1))

Упражнение ( PageIndex {12} )

(x + y = 0 ), ако (x = 0 )

Упражнение ( PageIndex {13} )

(y + dfrac {3} {4} = x ), ако (x = dfrac {9} {4} )

Отговор

(( dfrac {9} {4}, dfrac {3} {2}) )

Упражнение ( PageIndex {14} )

(y + 17 = x ), ако (x = −12 )

Упражнение ( PageIndex {15} )

(- 20y + 14x = 1 ), ако (x = 8 )

Отговор

((8, dfrac {111} {20}) )

Упражнение ( PageIndex {16} )

( dfrac {3} {5} y + dfrac {1} {4} x = dfrac {1} {2} ), ако (x = -3 )

Упражнение ( PageIndex {17} )

( dfrac {1} {5} x + y = -9 ), ако (y = -1 ).

Отговор

((−40,−1))

Упражнение ( PageIndex {18} )

(y + 7 - x = 0 ), ако (x = * )

Упражнение ( PageIndex {19} )

(2x + 31y − 3 = 0 ), ако (x = a )

Отговор

((a, dfrac {3-2a} {31}) )

Упражнение ( PageIndex {20} )

(436x + 189y = 881 ), ако (x = −4231 )

Упражнение ( PageIndex {21} )

(y = 6 (x − 7) ), ако (x = 2 )

Отговор

((2,−30))

Упражнение ( PageIndex {22} )

(y = 2 (4x + 5) ), ако (x = −1 )

Упражнение ( PageIndex {23} )

(5y = 9 (x − 3) ), ако (x = 2 )

Отговор

((2, - dfrac {9} {5}) )

Упражнение ( PageIndex {24} )

(3y = 4 (4x + 1) ), ако (x = −3 )

Упражнение ( PageIndex {25} )

(- 2y = 3 (2x − 5) ), ако (x = 6 )

Отговор

((6, - dfrac {21} {2}) )

Упражнение ( PageIndex {26} )

(- 8y = 7 (8x + 2) ), ако (x = 0 )

Упражнение ( PageIndex {27} )

(b = 4a-12 ), ако (a = -7 )

Отговор

((−7,−40))

Упражнение ( PageIndex {28} )

(b = −5a + 21 ), ако (a = −9 )

Упражнение ( PageIndex {29} )

(4b − 6 = 2a + 1 ), ако (a = 0 )

Отговор

((0, dfrac {7} {4}) )

Упражнение ( PageIndex {30} )

(- 5m + 11 = n + 1 ), ако (n = 4 )

Упражнение ( PageIndex {31} )

(3 (t + 2) = 4 (s − 9) ), ако (s = 1 )

Отговор

((1, - dfrac {38} {3}) )

Упражнение ( PageIndex {32} )

(7 (t - 6) = 10 (2 - s) ), ако (s = 5 )

Упражнение ( PageIndex {33} )

(y = 0x + 5 ), ако (x = 1 )

Отговор

((1,5))

Упражнение ( PageIndex {34} )

(2y = 0x − 11 ), ако (x = −7 )

Упражнение ( PageIndex {35} )

(- y = 0x + 10 ), ако (x = 3 )

Отговор

((3,−10))

Упражнение ( PageIndex {36} )

(- 5y = 0x − 1 ), ако (x = 0 )

Упражнение ( PageIndex {37} )

(y = 0 (x − 1) +6 ), ако (x = 1 )

Отговор

((1,6))

Упражнение ( PageIndex {38} )

(y = 0 (3x + 9) -1), ако (x = 12 )

Упражнение ( PageIndex {39} )

Изследването на печелившите скорости в автомобилната надпревара в Индианаполис 500 от 1961 до 1970 г. дава уравнението (y = 1.93x + 137.60 ), където (x ) е броят на годините от 1960 г., а (y ) е печелившата скорост. За получаване на уравнението са използвани статистически методи и за дадена година уравнението дава само приблизителната скорост на печелене. Използвайте уравнението (y = 1.93x + 137.60 ), за да намерите приблизителната печеливша скорост в

  1. 1965
  2. 1970
  3. 1986
  4. 1990
Отговор

а) Приблизително 147 мили в час, използвайки ((5,147.25) )
б) Приблизително 157 mph в час с ((10,156.9) )
(° С) Приблизително 188 мили в час, използвайки ((26,187.78) )
(д) Приблизително 196 мили в час, използвайки ((30 195,5) )

Упражнение ( PageIndex {40} )

В теорията на електричеството законът на Ом свързва електрическия ток с напрежението чрез уравнението (y = 0,00082x ), където (x ) е напрежението във волта, а (y ) е токът в ампери. Това уравнение е намерено със статистически методи и за дадено напрежение дава само приблизителна стойност за тока. Използвайте уравнението (y = 0,00082x ), за да намерите приблизителния ток за напрежение от

  1. 6 волта
  2. 10 волта

Упражнение ( PageIndex {41} )

Използвани са статистически методи, за да се получи връзка между реалния и отчетения брой германски подводници, потъващи всеки месец от американския флот през Втората световна война. Уравнението, изразяващо приблизителния брой на действителните потъвания, (y ), за даден брой докладвани потъвания, (x ), е (y = 1,04x + 0,76 ). Намерете приблизителния брой на действителните потъвания на немски подводници, ако докладваният брой потъвания е

  1. 4
  2. 9
  3. 10
Отговор

а) Приблизително 5 потъвания с помощта на ((4,4.92) )
б) Приблизително 10 потъвания с помощта на ((9,10.12) )
(° С) Приблизително 11 потъвания с помощта на ((10,11.16) )

Упражнение ( PageIndex {42} )

Използвани са статистически методи за получаване на връзка между сърдечното тегло (в милиграми) и телесното тегло (в милиграми) на 10-месечно диабетно потомство на кръстосани мъжки мишки. Уравнението, изразяващо приблизителното телесно тегло за дадено сърдечно тегло, е (y = 0,213x − 4,44 ). Намерете приблизителното телесно тегло за сърдечно тегло от

  1. 210 mg
  2. 245 mg

Упражнение ( PageIndex {43} )

Използвани са статистически методи за получаване на уравнението (y = 0,176x − 0,64 ). Това уравнение дава приблизителния брой на червените кръвни клетки (в милиони) от кръвта на кучето, (y ), за даден обем на опаковани клетки (в милиметри), (x ). Намерете приблизителния брой на червените кръвни клетки за обем на опаковани клетки от

  1. 40 мм
  2. 42 мм
Отговор

а) Приблизително 6.4 с помощта на ((40,6.4) )
б) Приблизително 4.752 с помощта на ((42,7.752) )

Упражнение ( PageIndex {44} )

Индустриалната машина може да работи с различни скорости. Машината също произвежда дефектни елементи и броят на дефектните елементи, които произвежда, изглежда е свързан със скоростта, с която машината работи. Статистическите методи установиха, че уравнението (y = 0,73x − 0,86 ) може да даде приблизителния брой дефектни елементи, (y ), за дадена скорост на машината, (x ). Използвайте това уравнение, за да намерите приблизителния брой дефектни елементи за скорост на машината от

  1. 9
  2. 12

Упражнение ( PageIndex {45} )

Компютърна компания е установила, използвайки статистически техники, че има връзка между резултатите от тестовете за правоспособност на работниците в поточната линия и тяхната производителност. Използвайки данни, натрупани за определен период от време, беше получено уравнението (y = 0.89x − 41.78 ). (X ) представлява резултат от теста за правоспособност и (y ) приблизителния съответстващ брой елементи, сглобени на час. Оценете броя на артикулите, произведени от работник, с оценка за пригодност

  1. 80
  2. 95
Отговор

а) Приблизително 29 елемента, използващи ((80,29.42) )
б) Приблизително 43 елемента, използващи ((95,42.77) )

Упражнение ( PageIndex {46} )

Химиците, използвайки статистически техники, са успели да изразят приблизителното тегло на калиев бромид, (W ), който ще се разтвори в 100 грама вода при (T ) градуса по Целзий. Уравнението, изразяващо тази връзка, е (W = 0,52T + 54,2 ). Използвайте това уравнение, за да предскажете теглото на калиев бромид, което ще се разтвори в 100 грама вода, която се нагрява до температура от

  1. 70 градуса по Целзий
  2. 95 градуса по Целзий

Упражнение ( PageIndex {47} )

Маркетинговият отдел на голяма компания успя да изрази връзката между търсенето на даден продукт и цената му, използвайки статистически техники. Отделът установи, като анализира проучвания, направени в шест различни пазарни области, че уравнението, даващо приблизителното търсене на продукт (в хиляди единици) за определена цена (в центове), е (y = −14.15x + 257.11 ) . Намерете приблизителния брой заявени единици, когато цената е

  1. $0.12
  2. $0.15
Отговор

а) Приблизително 87 единици, използващи ((12,87.31) )
б) Приблизително 45 единици, използващи ((15,44.86) )

Упражнение ( PageIndex {48} )

Управлението на програма за четене на скорост твърди, че приблизителното увеличение на скоростта (с думи в минута), (G ), е свързано с броя на седмиците, прекарани в програмата, (W ), се дава от уравнението (G = 26,68W - 7,44 ). Предскажете приблизителното увеличение на скоростта за студент, който е похарчил

  1. 3 седмици в програмата
  2. 10 седмици в програмата

Упражнения за преглед

Упражнение ( PageIndex {49} )

Намерете продукта. ((4x − 1) (3x + 5) ).

Отговор

(12x ^ 2 + 17x − 5 )

Упражнение ( PageIndex {50} )

Намерете продукта. ((5x + 2) (5x − 2) )

Упражнение ( PageIndex {51} )

Решете уравнението (6 [2 (x − 4) +1] = 3 [2 (x − 7)] ).

Отговор

(x = 0 )

Упражнение ( PageIndex {52} )

Решете неравенството (- 3a− (a − 5) ≥a + 10 ).

Упражнение ( PageIndex {53} )

Решете съставното неравенство (- 1 <4y + 11 <27 ).

Отговор

(- 3


5.8: Линейни уравнения в две променливи

Ан инвестира 12 000 долара в две банкови сметки. Една от сметките плаща 6% годишна лихва, а другата сметка плаща 5% годишна лихва. Ако общата лихва, спечелена и в двете сметки след една година, е била $ 700, колко пари са били вложени във всяка сметка?

Какво се опитваме да открием в този проблем?

Искаме да знаем размера на парите, инвестирани във всяка сметка - с други думи, искаме да знаем сумата, вложена в 6% сметката, и сумата, вложена в 5% сметката. Всяко от нещата, които се опитваме да намерим, ще бъде представено чрез променлива:

x = инвестирана сума при 6%
y = инвестирана сума при 5%

Тъй като имаме две променливи за решаване, ще трябва да намерим система от две уравнения, които да решим.

Как да намерим двете уравнения, от които се нуждаем?

В задачата ни се дават две числа:

$ 12 000 = общо пари, вложени в двете сметки
$ 700 = обща лихва, спечелена и в двата акаунта

Нека започнем с $ 12 000. Ан иска да раздели тези пари на две части. Избрахме да наречем двете части x и y. Тъй като тези две части трябва да възлизат на $ 12 000, това ни дава първото уравнение:

Сега нека разгледаме 700 долара, лихвите, спечелени по двете сметки заедно. Нека помислим за формулата за изчисляване на проста лихва:

Тъй като периодът от време на този проблем е една година, нашето просто уравнение за лихва става:

Лихва = (Принцип) (Процент) (1)
или
Лихва = (принцип) (ставка)

Всяка сметка има различна сума пари, вложени в нея (или х долара или y долара), и всяка сметка има различен лихвен процент (или 6%, или 5%). Това ни дава следното:

Лихвите, спечелени върху x долара = (x) (6%) = .06x

Лихви, спечелени върху y долари = (y) (5%) = .05y

Общата печалба от двата акаунта е $ 700, така че второто ни уравнение е:

Лихва, спечелена от х долара + лихва, спечелена от y долара = обща лихва
.06x + .05y = 700

Ако умножим двете страни на това уравнение по 100, за да изчистим десетичните знаци, става:
6x + 5y = 70 000

Сега ще решим системата от уравнения:

x + y = 12 000
6x + 5y = 70 000

Умножете първото уравнение по -5, след което добавете уравненията:

-5x - 5y = -60 000
6x + 5y = 70 000
x = 10 000

Ан инвестира 10 000 долара в сметката, която плаща 6% лихва.

За да намерите сумата, вложена в другата сметка, заменете 10 000 с x в някое от нашите уравнения. Ще изберем по-лесното уравнение:

x + y = 12 000
10 000 + y = 12 000
у = 2000

Ан инвестира 2000 долара в сметката, която плаща 5% лихва.



5.8: Линейни уравнения в две променливи

До този момент в този курс обсъжданията на уравненията бяха ограничени до линейни уравнения в една променлива. Линейните уравнения, които имат две променливи, са често срещани и тяхното решение включва разширяване на някои от вече въведените процедури.

Изключителна характеристика на уравненията в две променливи е тяхната приспособимост към графичен анализ. Правоъгълната координатна система, въведена в глава 3 от този курс, се използва при графичен анализ на уравнения. Тази система от вертикални и хоризонтални линии, срещащи се взаимно под прав ъгъл и образувайки по този начин правоъгълна мрежа, често се нарича декартова координатна система. Той е кръстен на френския философ и математик Рене Декарт, който го е изобретил.

Правоъгълната координатна система е разработена върху референтна рамка, подобна на фигура 3-2 в глава 3 от този курс. На лист милиметрова хартия са изчертани две линии, пресичащи се една под друга под прав ъгъл, както е на фигура 12-1. Вертикалната линия обикновено е обозначена

с главна буква Y и наречена оста Y. Хоризонталната линия обикновено се обозначава с главна буква X и се нарича оста X. Точката, където осите X и Y се пресичат, се нарича ПРОИЗХОД и се обозначава с буквата o. Над началото, числата, измерени по или успоредно на оста Y, са положителни под началото, те са отрицателни. Вдясно от началото, числата, измерени по или успоредно на оста X, са положителни вляво, те са отрицателни.

Точка навсякъде на графиката може да бъде разположена от две числа, едното показва разстоянието на точката от оста Y, а другото показва разстоянието на точката от оста X.

Фигура 12-1 -Правоъгълна координатна система. Точка P (фиг. 12-1) е 6 единици вдясно от оста Y и 3 единици над оста X. Цифрите, които показват позицията на точка, наричаме КООРДИНАТИ. Числото, показващо разстоянието на точката, измерено хоризонтално от началото, е координатата X (6 в този пример), а числото, показващо разстоянието на точката, измерено вертикално от началото (3 в този пример), е координатата Y.

При описанието на местоположението на точка с помощта на правоъгълни координати е обичайно координатите да се поставят в скоби и да се разделят със запетая. X координатата винаги се записва първо. Изписват се координатите на точка Р (фиг. 12-1) (6, 3). Координатите за точка Q са (4, -5) за точка R, те са (-5, -2), а за точка S те са (-8, 5).

Обикновено, когато посочваме точка на графика, пишем буква и координатите на точката. Така на фигура 12-1, за точка S, пишем S (-8, 5). Останалите точки обикновено се пишат, P (6, 3), Q (4, -5) и R (-5, -2). Координатата Y на точка често се нарича ORDINATE, а координатата X често се нарича ABSCISSA.

Осите X и Y разделят графиката на четири части, наречени КВАДРАНТИ. На фигура 12-1, точка P е в квадрант I, точка S е в квадрант II, R е в квадрант III и Q е в квадрант IV. В първия и четвъртия квадрант координатата X е положителна, тъй като е вдясно от началото. Във втория и третия квадрант е отрицателен, тъй като е вляво от началото. По същия начин координатата Y е положителна в първия и втория квадрант, като е над началото, а е отрицателна в третия и четвъртия квадрант, като е под началото. По този начин ние знаем предварително знаците на координатите на дадена точка, като знаем квадранта, в който се появява точката. Знаците на координатите в четирите квадранта са показани на фигура 12-1. Намирането на точки по отношение на осите се нарича ПЛОТИРАНЕ. Както е показано с точка P (фиг. 12-l), нанасянето на точка е еквивалентно на попълването на правоъгълник, който има сегменти на осите като две от страните му с линии, спуснати перпендикулярно на осите, образуващи другите две страни. Това е причината за името & quotrectangular координати. & Quot

ПЛОТИРАНЕ НА ЛИНЕЙНО УРАВНЕНИЕ

Линейното уравнение в две променливи може да има много решения. Например, при решаването на уравнението 2x - y = 5, можем да намерим неограничен брой стойности на x, за които ще има съответна стойност на y. Когато x е 4, y е 3, тъй като (2 x 4) - 3 = 5. Когато x е 3, y е 1, а когато x е 6, y е 7. Когато графицираме уравнение, тези двойки стойности са разгледани координати на точки на графиката. Графиката на уравнението не е нищо повече от права, съединяваща точките, разположени от различните двойки числа, които удовлетворяват уравнението.

За да си представим уравнение, първо намираме няколко двойки стойности, които удовлетворяват уравнението. Например, за уравнението 2x - y = 5, присвояваме няколко стойности на x и решаваме за y. Удобен начин за намиране на стойности е първо да се реши уравнението за която и да е променлива, както следва:

След като това бъде постигнато, стойността на y е лесно очевидна, когато стойностите се заменят с x. Получената информация може да бъде записана в таблица като таблица 12-1. След това оставяме осите X и Y върху милиметрова хартия, избираме удобно единично разстояние за измерване по осите и след това нанасяме двойките стойности, намерени за x и y, като координати на точки на графиката. По този начин намираме двойките стойности, показани в таблица 12-1, на графика, както е показано на фигура 12-2 (А).

Таблица 12-1.-Стойности на x и y в уравнението

Фигура 12-2.-Графика на 2x - y = 5.

И накрая, чертаем линия, свързваща тези точки, както е на фигура 12-2 (Б). Вижда се, че това е права линия, откъдето идва и името & quotlinear equation. & Quot След като графиката бъде изчертана, обичайно е да се пише уравнението, което представлява по линията, както е показано на фигура 12-2 (B).

Може да се покаже, че графиката на уравнение е геометричното представяне на всички точки, чиито координати отговарят на условията на уравнението. Линията представлява безкраен брой двойки координати за това уравнение. Например, избирайки произволно точката на линията, където x е 2: и y е 0 и замествайки тези стойности в уравнението, ние откриваме, че те го удовлетворяват. По този начин,

Ако могат да бъдат разположени две точки, които лежат на права линия, положението на линията е известно. Математическият език за това е "две точки ОПРЕДЕЛЯТА права линия." Сега знаем, че графиката на линейно уравнение в две променливи е права линия. Тъй като две точки са достатъчни за определяне на права линия, линейно уравнение може да бъде изобразено чрез начертаване на две точки и изчертаване на права линия през тези точки. Много често двойки цели числа, които отговарят на уравнението, могат да бъдат намерени чрез проверка. Такива точки лесно се начертават.

След като линията се изтегли през две точки, добре е да се начертае трета точка като проверка. Ако тази трета точка, чиито координати удовлетворяват уравнението, лежи на линията, графиката се изчертава точно.


NCERT решения за математика от клас 8 Глава 2 Линейни уравнения в една променлива | PDF изтегляне

Решете следните уравнения.
(1) x & # 8211 2 = 7
(2) y + 3 = 10
(3) 6 = z + 2
(4) 3/7 + x = 17/7
(5) 6x = 12
(6) t / 5 = 10
(7) 2x / 3 = 18
(8) 1,6 = y / 1,5
(9) 7x & # 8211 9 = 16
(10) 14y & # 8211 8 = 13
(11) 17 + 6p = 9
(12) x / 3 + 1 = 7/15

(2) y + 3 = 10
& # 8658 y = 10 - 3
& # 8658 y = 7

(3) 6 = z + 2
& # 8658 z + 2 = 6
& # 8658 z = 6 - 2
& # 8658 z = 4

(4) 3/7 + x = 17/7
& # 8658 x = 17/7 - 3/7
& # 8658 x = (17 - 3) / 7
& # 8658 x = 14/7
& # 8658 x = 2

(9) 7x & # 8211 9 = 16
& # 8658 7x = 16 + 9
& # 8658 x = 25/7

(10) 14y & # 8211 8 = 13
& # 8658 14y = 13 + 8
& # 8658 14y = 21
& # 8658 y = 21/14
& # 8658 y = 3/2

1. Ако извадите 1/2 от число и умножите резултата по 1/2, ще получите 1/8. Какво е числото?

Нека числото е x.
A / q,
(x - 1/2) & # 215 1/2 = 1/8
& # 8658 x / 2 - 1/4 = 1/8
& # 8658 x / 2 = 1/8 + 1/4
& # 8658 x / 2 = 1/8 + 2/8
& # 8658 x / 2 = (1 + 2) / 8
& # 8658 x = 3/8 & # 215 2
& # 8658 x = 6/8 = 3/4

2. Периметърът на правоъгълен басейн е 154 m. Дължината му е 2 м повече от два пъти по-широка. Какви са дължината и широчината на басейна?

Като се има предвид,
Периметър на правоъгълен басейн = 154 m
Нека широчината на правоъгълника е x.
A / q,
Дължина на правоъгълника = 2x + 2
Периметър = 2 (дължина + ширина)
& # 8658 2 (2x + 2 + x) = 154 m
& # 8658 2 (3x + 2) = 154
& # 8658 3x + 2 = 154/2
& # 8658 3x = 77 - 2
& # 8658 x = 75/3
& # 8658 x = 25 m
По този начин,
Ширина = x = 25 m
Дължина = 2x + 2 = 50 + 2 = 52 m

3. Основата на равнобедрен триъгълник е 4/3 cm. Периметърът на триъгълника е 62/15 cm. Каква е дължината на една от останалите равни страни?

Основа на равнобедрен триъгълник = 4/3 cm
Периметър на триъгълника = 62/15 cm
Нека дължината на равни страни на триъгълника е х.
A / q,
4/3 + x + x = 62/15 cm
& # 8658 2x = (62/15 - 4/3) cm
& # 8658 2x = (62 - 20) / 15 cm
& # 8658 2х = 42/15 см
& # 8658 x = 42/15 & # 215 1/2
& # 8658 x = 42/30 см
& # 8658 x = 7/5 cm
Дължината на една от останалите равни страни е 7/5 cm.

4. Сумата от две числа е 95. Ако едното надвишава другото с 15, намерете числата.

Нека единият от числото е x.
Тогава другото число ще бъде x + 15
A / q,
x + x + 15 = 95
& # 8658 2x + 15 = 95
& # 8658 2x = 80
& # 8658 x = 40
Първо число = x = 40
Друго число = x + 15 = 40 + 15 = 55

5. Две числа са в съотношение 5: 3. Ако се различават с 18, какви са числата?

Нека двете числа са 5x и 3x.
A / q,
5x - 3x = 18
& # 8658 2x = 18
& # 8658 x = 9
По този начин числата са 5x = 45 и 3x = 27.

6. Три последователни цели числа се събират до 51. Какви са тези цели числа?

Нека трите последователни цели числа са x, x + 1 и x + 2.
A / q,
x + (x + 1) + (x + 2) = 51
& # 8658 3x + 3 = 51
& # 8658 3x = 51 - 3
& # 8658 3x = 48
& # 8658 x = 16
По този начин целите числа са x = 16, x + 1 = 17 и x + 2 = 18

7. Сумата от три последователни кратни на 8 е 888. Намерете кратните.

Нека трите последователни кратни на 8 са 8x, 8 (x + 1) и 8 (x + 2).
A / q,
8x + 8 (x + 1) + 8 (x + 2) = 888
& # 8658 8 (x + x + 1 + x + 2) = 888 (Като 8 като общо)
& # 8658 8 (3x + 3) = 888
& # 8658 3x + 3 = 888/8
& # 8658 3x + 3 = 111
& # 8658 3x = 108
& # 8658 x = 36
По този начин трите последователни кратни на 8 са 8x = 8 & # 215 36 = 288,
8 (x + 1) = 8 & # 215 (36 + 1) = 8 & # 215 37 = 296 и
8 (x + 2) = 8 & # 215 (36 + 2) = 8 & # 215 38 = 304

8. Три последователни цели числа са такива, че когато се вземат в нарастващ ред и се умножават съответно по 2, 3 и 4, те се събират до 74. Намерете тези числа.

Нека трите последователни цели числа са x, x + 1 и x + 2.
A / q,
2x + 3 (x + 1) + 4 (x + 2) = 74
& # 8658 2x + 3x +3 + 4x + 8 = 74
& # 8658 9x + 11 = 74
& # 8658 9x = 74 - 11
& # 8658 x = 63/9
& # 8658 x = 7
По този начин числата са x = 7, x + 1 = 8 и x + 2 = 9

9. Възрастите на Рахул и Харун са в съотношение 5: 7. Четири години по-късно сумата от възрастта им ще бъде 56 години. Какви са сегашните им възрасти?

Нека възрастите на Rahul и Haroon да бъдат 5x и 7x.
Четири години по-късно възрастта им ще бъде съответно (5x + 4) и (7x + 4).
A / q,
(5x + 4) + (7x + 4) = 56
& # 8658 5x + 4 + 7x + 4 = 56
& # 8658 12x + 8 = 56
& # 8658 12x = 56 - 8
& # 8658 x = 48/12
& # 8658 x = 4
Настоящата възраст на Рахул = 5x = 5 & # 2154 = 20
Настоящата възраст на Харун = 7x = 7 & # 2154 = 28

10. Броят на момчетата и момичетата в един клас са в съотношение 7: 5. Броят на момчетата е с 8 повече от броя на момичетата. Каква е общата сила на класа?

Нека броят на момчетата да бъде 7x, а момичетата 5x.
A / q,
7x = 5x + 8
& # 8658 7x - 5x = 8
& # 8658 2x = 8
& # 8658 x = 4
Брой момчета = 7 & # 2154 = 28
Брой момичета = 5 & # 2154 = 20

11. Бащата на Baichung & # 8217s е с 26 години по-млад от дядото на Baichung & # 8217s и с 29 години по-възрастен от Baichung. Сборът от възрастите и на трите е 135 години. Каква е възрастта на всеки един от тях?

Нека възрастта на бащата на Baichung & # 8217s бъде x.
Ето защо, Age of Baichung & # 8217s дядо = (x + 26)
и, Възраст на Baichung = (x-29)
A / q,
x + (x + 26) + (x-29) = 135
& # 8658 3x + 26 - 29 = 135
& # 8658 3x = 135 + 3
& # 8658 3x = 138
& # 8658 x = 138/3
& # 8658 x = 46
Възраст на Baichung & # 8217s баща = x = 46
Възраст на Baichung & # 8217s дядо = (x + 26) = 46 + 26 = 72
Възраст на Baichung = (x-29) = 46 - 29 = 17

12. Петнадесет години след това възрастта на Ravi & # 8217s ще бъде четири пъти по-голяма от сегашната му възраст. Какво представлява настоящата възраст на Ravi & # 8217s?

Нека сегашната епоха на Рави да бъде х.
Петнадесет години по-късно възрастта на Рави ще бъде х + 15 години.
A / q,
x + 15 = 4x
& # 8658 4x - x = 15
& # 8658 3x = 15
& # 8658 x = 5
Настояща възраст на Рави = 5 години.

13. Рационалното число е такова, че когато го умножите по 5/2 и добавите 2/3 към продукта, получавате -7/12. Какво е числото?

Нека рационалното е x.
A / q,
x & # 215 (5/2) + 2/3 = -7/12
& # 8658 5x / 2 + 2/3 = -7/12
& # 8658 5x / 2 = -7/12 - 2/3
& # 8658 5x / 2 = (-7 - 8) / 12
& # 8658 5x / 2 = -15/12
& # 8658 5x / 2 = -5/4
& # 8658 x = (-5/4) & # 215 2/5
& # 8658 x = -10/20
& # 8658 x = -1/2
По този начин рационалното число е -1/2

14. Лакшми е касиер в банка. Тя има банкноти с номинали & # 8377100, & # 837750 и & # 837710, съответно. Съотношението на броя на тези бележки е 2: 3: 5. Общата сума в брой с Лакшми е & # 83774,00,000. Колко бележки от всяка деноминация има тя?

Нека номерата на бележките на & # 8377100, & # 837750 и & # 837710 са съответно 2x, 3x и 5x.
Стойност на & # 8377100 = 2x & # 215 100 = 200x
Стойност на & # 837750 = 3x & # 215 50 = 150x
Стойност на & # 837710 = 5x & # 215 10 = 50x
A / q,
200x + 150x + 50x = 4,00 000
& # 8658 400x = 4,00 000
& # 8658 x = 4,00,000 / 400
& # 8658 x = 1000
Номера на & # 8377100 бележки = 2x = 2000
Номера на & # 837750 бележки = 3x = 3000
Номера на & # 837710 бележки = 5x = 5000

15. Имам общо & # 8377300 в монети с деноминация & # 83771, & # 83772 и & # 83775. Броят на монетите & # 83772 е 3 пъти по-голям от броя на монетите & # 83775. Общият брой на монетите е 160. Колко монети от всяка деноминация са при мен?

Нека броят на & # 83775 монети е x.
За това, брой & # 83772 монети = 3x
и, брой & # 83771 монети = (160 - 4x)
Сега,
Стойност на & # 83775 монети = x & # 215 5 = 5x
Стойност на & # 83772 монети = 3x & # 215 2 = 6x
Стойност на & # 83771 монети = (160 - 4x) & # 215 1 = (160 - 4x)
A / q,
5x + 6x + (160 - 4x) = 300
& # 8658 11x + 160 - 4x = 300
& # 8658 7x = 140
& # 8658 x = 140/7
& # 8658 x = 20
Брой монети & # 83775 = x = 20
Брой & # 83772 монети = 3x = 60
Брой & # 83771 монети = (160 - 4x) = 160 - 80 = 80

16. Организаторите на състезание за есе решават, че победител в състезанието получава награда от & # 8377100, а участник, който не спечели, получава награда от & # 837725. Общият размер на разпределените награди е & # 83773,000. Намерете броя на победителите, ако общият брой на участниците е 63.

Нека номерата на победителя са x.
Затова броят на участниците не спечели = 63 - x
Общо пари, дадени на победителя = x & # 215 100 = 100x
Общо пари, дадени на участника не са спечелили = 25 & # 215 (63-x)
A / q,
100x + 25 & # 215 (63-x) = 3000
& # 8658 100x + 1575 - 25x = 3000
& # 8658 75x = 3000 - 1575
& # 8658 75x = 1425
& # 8658 x = 1425/75
& # 8658 x = 19
По този начин броят на победителите е 19.

Решете следните уравнения и проверете резултатите си.
(1) 3x = 2x + 18
(2) 5t & # 8211 3 = 3t & # 8211 5
(3) 5x + 9 = 5 + 3x
(4) 4z + 3 = 6 + 2z
(5) 2x & # 8211 1 = 14 & # 8211 x
(6) 8x + 4 = 3 (x & # 8211 1) + 7
(7) x = 4/5 (x + 10)
(8) 2x / 3 + 1 = 7x / 15 + 3
(9) 2y + 5/3 = 26/3 - y
(10) 3 m = 5 m & # 8211 8/5

(1) 3x = 2x + 18
& # 8658 3x - 2x = 18
& # 8658 x = 18
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
3 × 18 = (2 × 18)+18
⇒ 54 = 54
& # 8658 LHS = RHS

(2) 5t & # 8211 3 = 3t & # 8211 5
& # 8658 5t - 3t = -5 + 3
& # 8658 2t = -2
& # 8658 t = -1
Поставяйки стойността на t в RHS и LHS, получаваме,
5×(-1) - 3 = 3×(-1) - 5
⇒ -5 - 3 = -3 - 5
⇒ -8 = -8
& # 8658 LHS = RHS

(3) 5x + 9 = 5 + 3x
& # 8658 5x - 3x = 5 - 9
& # 8658 2x = -4
& # 8658 x = -2
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
5×(-2) + 9 = 5 + 3×(-2)
⇒ -10 + 9 = 5 + (-6)
⇒ -1 = -1
& # 8658 LHS = RHS

(4) 4z + 3 = 6 + 2z
& # 8658 4z - 2z = 6 - 3
& # 8658 2z = 3
& # 8658 z = 3/2
Поставяйки стойността на z в RHS и LHS, получаваме,
(4 × 3/2) + 3 = 6 + (2 × 3/2)
⇒ 6 + 3 = 6 + 3
⇒ 9 = 9
& # 8658 LHS = RHS

(5) 2x & # 8211 1 = 14 & # 8211 x
& # 8658 2x + x = 14 + 1
& # 8658 3x = 15
& # 8658 x = 5
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
(2࡫) - 1 = 14 - 5
⇒ 10 - 1 = 9
⇒ 9 = 9
& # 8658 LHS = RHS

(6) 8x + 4 = 3 (x & # 8211 1) + 7
& # 8658 8x + 4 = 3x & # 8211 3 + 7
& # 8658 8x + 4 = 3x + 4
& # 8658 8x - 3x = 4 - 4
& # 8658 5x = 0
& # 8658 x = 0
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
(8ࡦ) + 4 = 3 (0 – 1) + 7
⇒ 0 + 4 = 0 - 3 + 7
⇒ 4 = 4
& # 8658 LHS = RHS

(7) x = 4/5 (x + 10)
& # 8658 x = 4x / 5 + 40/5
& # 8658 x - 4x / 5 = 8
& # 8658 (5x - 4x) / 5 = 8
& # 8658 x = 8 & # 215 5
& # 8658 x = 40
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
40 = 4/5(40 + 10)
⇒ 40 = 4/5 × 50
⇒ 40 = 200/5
⇒ 40 = 40
& # 8658 LHS = RHS

(8) 2x / 3 + 1 = 7x / 15 + 3
2x / 3 - 7x / 15 = 3 - 1
& # 8658 (10x - 7x) / 15 = 2
& # 8658 3x = 2 & # 215 15
& # 8658 3x = 30
& # 8658 x = 10
Поставяйки стойността на x в RHS и LHS, получаваме,
(2吆)/3 + 1 = (7吆)/15 + 3
⇒ 20/3 + 1 = 70/15 + 3
⇒ (20 + 3)/3 = (70 + 45)/15
⇒ 23/3 = 115/15
⇒ 23/3 = 23/3
& # 8658 LHS = RHS

(10) 3 m = 5 m & # 8211 8/5
& # 8658 3м - 5м = -8/5
& # 8658 -2m = -8/5

& # 8658-2m & # 215 5 = -8
& # 8658 -10m = -8
& # 8658 m = -8 / -10
& # 8658 m = 4/5
Поставяйки стойността на m в RHS и LHS, получаваме,
3 × 4/5 = (5 × 4/5) – 8/5
⇒ 12/5 = 4 - 8/5
⇒ 12/5 = (20 - 8)/5
⇒ 12/5 = 12/5
& # 8658 LHS = RHS

1. Амина измисля число и изважда 5/2 от него. Тя умножава резултата по 8. Полученият сега резултат е 3 пъти по-същия номер, за който тя е мислила. Какво е числото?

Нека числото е x.
A / q,
(x - 5/2) & # 215 8 = 3x
& # 8658 8x - 40/2 = 3x
& # 8658 8x - 3x = 40/2
& # 8658 5x = 20
& # 8658 x = 4
По този начин числото е 4.

2. Положителното число е 5 пъти друго число. Ако към двете числа се добави 21, тогава едно от новите числа става два пъти другото ново число. Какви са цифрите?

Нека едно от положителното число е x, тогава другото число ще бъде 5x.
A / q,
5x + 21 = 2 (x + 21)
& # 8658 5x + 21 = 2x + 42
& # 8658 5x - 2x = 42 - 21
& # 8658 3x = 21
& # 8658 x = 7
Едно число = x = 7
Друго число = 5x = 5 & # 2157 = 35
Двете числа са 5 и 35.

3. Сумата от цифрите на двуцифрено число е 9. Когато разменим цифрите, се установява, че полученото ново число е по-голямо от оригиналното число с 27. Какво е двуцифреното число?

Нека цифрата на мястото на десетките е x, тогава цифрата на мястото на единиците ще бъде (9-x).
Оригинално двуцифрено число = 10x + (9-x)
След размяна на цифрите новото число = 10 (9-x) + x
A / q,
10x + (9-x) + 27 = 10 (9-x) + x
& # 8658 10x + 9 - x + 27 = 90 - 10x + x
& # 8658 9x + 36 = 90 - 9x
& # 8658 9x + 9x = 90 - 36
& # 8658 18x = 54
& # 8658 x = 3
Оригинален номер = 10x + (9-x) = (10 & # 2153) + (9-3) = 30 + 6 = 36
По този начин числото е 36.

4. Една от двете цифри на двуцифрено число е три пъти другата цифра. Ако размените цифрите на това двуцифрено число и добавите полученото число към оригиналното число, ще получите 88. Какво е оригиналното число?

Нека цифрата на мястото на десетки е x, тогава цифрата на мястото на единиците ще бъде 3x.
Оригинално двуцифрено число = 10x + 3x
След размяна на цифрите новото число = 30x + x
A / q,
(30x + x) + (10x + 3x) = 88
& # 8658 31x + 13x = 88
& # 8658 44x = 88
& # 8658 x = 2
Оригинален номер = 10x + 3x = 13x = 13 & # 2152 = 26

5. Shobo & # 8217s майка & # 8217s настоящата възраст е шест пъти Shobo & # 8217s настоящата възраст. Възрастта на Shobo & # 8217s след пет години ще бъде една трета от настоящата възраст на майка му. Какви са сегашните им възрасти?

Нека сегашната възраст на Шобо е х, тогава възрастта на майка й ще бъде 6х.
Възрастта на Шобо след 5 години = х + 5
A / q,
(x + 5) = 1/3 & # 215 6x
& # 8658 x + 5 = 2x
& # 8658 2x - x = 5
& # 8658 x = 5
Настоящата възраст на Shobo = x = 5 години
Настояща възраст на майката на Шобо = 6x = 30 години

6. В село Махули има тесен правоъгълен парцел, запазен за училище. Дължината и широчината на парцела са в съотношение 11: 4. Със ставка & # 8377100 на метър ще струва на селото panchayat & # 837775000 да огради парцела. Какви са размерите на сюжета?

Нека дължината на правоъгълния парцел е 11x, а ширината 4х.
Норма на фехтовка на метър = & # 8377100
Общи разходи за фехтовка = & # 837775000
Perimeter of the plot = 2(l+b) = 2(11x + 4x) = 2吋x = 30x
Total amount of fencing = (30x × 100)
A/q,
(30x × 100) = 75000
⇒ 3000x = 75000
⇒ x = 75000/3000
⇒ x = 25
Length of the plot = 11x = 11吕 = 275
Breadth of the plot = 4x = 4吕 = 100

7. Hasan buys two kinds of cloth materials for school uniforms, shirt material that costs him 󌡶 per metre and trouser material that costs him 󌢞 per metre. For every 3 meters of the shirt material he buys 2 metres of the trouser material. He sells the materials at 12% and 10% profit respectively. His total sale is 󌡨,600. How much trouser material did he buy?

Let 2x m of trouser material and 3x m of shirt material be bought by him.
Selling price of shirt material per metre = ₹ 50 + 50×(12/100) = ₹ 56
Selling price of trouser material per metre = ₹ 90 + 90×(10/100) = 󌢧
Total amount of sale = 󌡨,600
A/q,
(2x × 99) + (3x × 56) = 36600
⇒ 198x + 168x = 36600
⇒ 366x = 36600
⇒ x = 36600/366
⇒ x =100
Total trouser material he bought = 2x = 2𴠼 = 200 m.

8. Half of a herd of deer are grazing in the field and three fourths of the remaining are playing nearby. The rest 9 are drinking water from the pond. Find the number of deer in the herd.

Let the total number of deer be x.
Deer grazing in the field = x/2
Deer playing nearby = 3/4(x - x/2) = 3/4×x/2 = 3x/8
Deer drinking water = 9
A/q,
x/2 + 3x/8 + 9 = x
⇒ (4x + 3x)/8 + 9 = x
⇒ 7x/8 + 9 = x
⇒ x - 7x/8 = 9
⇒ (8x - 7x)/8 = 9
⇒ x = 9࡮
⇒ x = 72

9. A grandfather is ten times older than his granddaughter. He is also 54 years older than her. Find their present ages.

Let the age of granddaughter be x and grandfather be 10x.
Also, he is 54 years older than her.
A/q,
10x = x + 54
⇒ 10x - x = 54
⇒ 9x = 54
⇒ x = 6
Age of grandfather = 10x = 10࡬ = 60 years.
Age of granddaughter = x = 6 years.

10. Aman’s age is three times his son’s age. Ten years ago he was five times his son’s age. Find their present ages.

Let the age of Aman's son be x then age of Aman will be 3x.
A/q,
5(x - 10) = 3x - 10
⇒ 5x - 50 = 3x - 10
⇒ 5x - 3x = -10 + 50
⇒ 2x = 40
⇒ x = 20
Aman's son age = x = 20 years
Aman age = 3x = 3吐 = 60 years

Solve the following linear equations.
(1) x/2 - 1/5 = x/3 + 1/4
(2) n/2 - 3n/4 + 5n/6 = 21
(3) x + 7 - 8x/3 = 17/6 - 5x/2
(4) (x - 5)/3 = (x - 3)/5
(5) (3t - 2)/4 - (2t + 3)/3 = 2/3 - t
(6) m - (m - 1)/2 = 1 - (m - 2)/3

(1) x/2 - 1/5 = x/3 + 1/4
⇒ x/2 - x/3 = 1/4 + 1/5
⇒ (3x - 2x)/6 = (5 + 4)/20
⇒ 3x - 2x = 9/20 × 6
⇒ x = 54/20
⇒ x = 27/10

(2) n/2 - 3n/4 + 5n/6 = 21
⇒ (6n - 9n + 10n)/12 = 21
⇒ 7n/12 = 21
⇒ 7n = 21合
⇒ n = 252/7
⇒ n = 36

(3) x + 7 - 8x/3 = 17/6 - 5x/2
⇒ x - 8x/3 + 5x/2 = 17/6 - 7
⇒ (6x - 16x + 15x)/6 = (17 - 42)/6
⇒ 5x/6 = -25/6
⇒ 5x = -25
⇒ x = -5

(4) (x - 5)/3 = (x - 3)/5
⇒ x/3 - 15 = x/5 - 15
⇒ x/3 - x/5 = -15 + 15
⇒ (5x - 3x)/15 = 0
⇒ 2x/15 = 0
⇒ x = 0

(5) (3t - 2)/4 - (2t + 3)/3 = 2/3 - t
⇒ 3t/4 - 1/2 - (2t/3 + 1) = 2/3 - t
⇒ 3t/4 - 1/2 - 2t/3 - 1 = 2/3 - t
⇒ 3t/4 - 2t/3 + t = 2/3 + 1 + 1/2
⇒ (9t - 8t + 12t)/12 = 2/3 + 3/2
⇒ 13t/12 = (4 + 9)/6
⇒ 13t/12 = 13/6
⇒ t = 13/6 × 12/13
⇒ t = 12/6 = 2

(6) m - (m - 1)/2 = 1 - (m - 2)/3
⇒ m - (m/2 - 1/2) = 1 - (m/3 - 2/3)
⇒ m - m/2 + 1/2 = 1 - m/3 + 2/3
⇒ m - m/2 + m/3 = 1 + 2/3 - 1/2
⇒ m/2 + m/3 = 1/2 + 2/3
⇒ (3m + 2m)/6 = (3 + 4)/6
⇒ 5m/6 = 7/6
⇒ m = 7/6 × 6/5
⇒ m = 7/5

Simplify and solve the following linear equations.
(7) 3(t – 3) = 5(2t + 1)
(8) 15(y – 4) 𔃀(y – 9) + 5(y + 6) = 0
(9) 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
(10) 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)

(7) 3(t – 3) = 5(2t + 1)
⇒ 3t - 9 = 10t + 5
⇒ 3t - 10t = 5 + 9
⇒ -7t = 14
⇒ t = 14/-7
⇒ t = -2

(8) 15(y – 4) 𔃀(y – 9) + 5(y + 6) = 0
⇒ 15y - 60 -2y + 18 + 5y + 30 = 0
⇒ 15y - 2y + 5y = 60 - 18 - 30
⇒ 18y = 12
⇒ y = 12/18
⇒ y = 2/3

(9) 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
⇒ 15z - 21 - 18z + 22 = 32z - 52 - 17
⇒ 15z - 18z - 32z = -52 - 17 + 21 - 22
⇒ -35z = -70
⇒ z = -70/-35
⇒ z = 2

(10) 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)
⇒ f - 0.75 = 0.5f - 0.45
⇒ f - 0.5f = -0.45 + 0.75
⇒ 0.5f = 0.30
⇒ f = 0.30/0.5
⇒ f = 30/5 = 6

Solve the following equations.
(1) (8x - 3)/3x = 2
(2) 9x/(7 - 6x) = 15
(3) z/(z + 15) = 4/9
(4) (3y + 4)/(2 - 6y) = -2/5
(5) (7y + 4)/(y + 2) = -4/3

(1) (8x - 3)/3x = 2
⇒ 8x/3x - 3/3x = 2
⇒ 8/3 - 1/x = 2
⇒ 8/3 - 2 = 1/x
⇒ (8 - 6)/3 = 1/x
⇒ 2/3 = 1/x
⇒ x = 3/2

(2) 9x/(7 - 6x) = 15
⇒ 9x = 15(7 - 6x)
⇒ 9x = 105 - 90x
⇒ 9x + 90x = 105
⇒ 99x = 105
⇒ x = 105/99 = 35/33

(3) z/(z + 15) = 4/9
⇒ z = 4/9(z + 15)
⇒ 9z = 4(z + 15)
⇒ 9z = 4z + 60
⇒ 9z - 4z = 60
⇒ 5z = 60
⇒ z = 12

(4) (3y + 4)/(2 - 6y) = -2/5
⇒ 3y + 4 = -2/5(2 - 6y)
⇒ 5(3y + 4) = -2(2 - 6y)
⇒ 15y + 20 = -4 + 12y
⇒ 15y - 12y = -4 - 20
⇒ 3y = -24
⇒ y = -8

(5) (7y + 4)/(y + 2) = -4/3
⇒ 7y + 4 = -4/3(y + 2)
⇒ 3(7y + 4) = -4(y + 2)
⇒ 21y + 12 = -4y - 8
⇒ 21y + 4y = -8 - 12
⇒ 25y = -20
⇒ y = 20/25 = 4/5

6. The ages of Hari and Harry are in the ratio 5:7. Four years from now the ratio of their ages will be 3:4. Find their present ages.

Let the age of Hari be 5x and Hari be 7x.
After 4years,
Age of Hari = 5x + 4
Age of Harry = 7x + 4
A/q,
(5x + 4)/(7x + 4) = 3/4
⇒ 4(5x + 4) = 3(7x + 4)
⇒ 20x + 16 = 21x + 12
⇒ 21x - 20x = 16 - 12
⇒ x = 4
Hari age = 5x = 5ࡪ = 20 years
Harry age = 7x = 7ࡪ = 28 years

7. The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is 3/2. Find the rational number.

Let the numerator be x then denominator will be (x + 8).
A/q,
(x + 17)/(x + 8 - 1) = 3/2
⇒ (x + 17)/(x + 7) = 3/2
⇒ 2(x + 17) = 3(x + 7)
⇒ 2x + 34 = 3x + 21
⇒ 34 - 21 = 3x - 2x
⇒ 13 = x
The rational number is x/(x + 8) = 13/21


CBSE Class 9 Maths Extra Questions: Chapter 4 - Linear Equations In Two Variables (with Answers)

CBSE Class 9 Maths Extra Questions and Answers for Chapter 4 Linear Equations In Two Variables - Practice these important questions to obtain desired marks in exams in 2020-2021.

CBSE Class 9 Maths extra questions and answers for Chapter 4 - Linear Equations In Two Variables can are entirely based on the important concepts given in the NCERT book. Therefore these questions are best to assess your understanding of the concepts, giving you a chance of improvement in the weak areas. So, try to solve these questions seriously to prepare well for the exams and obtain desired marks.

CBSE Class 9 Maths Extra Questions for Chapter 4 - Linear Equations In Two Variables:

1. Find the equation of a line on which the point (1, 2) lies.

x + y = 3 is the equation on which the given point (1, 2) lies.

2. At which point the graph of linear equation x+2y = 2, cuts the y-axis?

Graph of the linear equation x+2y = 2, cuts the y-axis at point (0, 1).

3. Which of the following points lies on the line x = y:

4. x = 0 is the equation of the _______axis and y = 0 is the equation of the _______axis.

x = 0 is the equation of the y-axis and y = 0 is the equation of the x-axis.

5. Which of the following equations represents a line passing through the point (0, 0)?

6. The linear equation 3x − 5y = 14 has:

(a) Infinitely many solutions

(b) A unique solution

(c) Two solutions

(d) No solution

(a) Infinitely many solutions

7. The graph of x = 7 is a straight line parallel to ______ axis.

The graph of x = 7 is a straight line parallel to y - axis.

8. How does a solution of the linear equation change, both sides the equation are divided by a non-zero number?

Solution of the linear equation will remain the same.

9. Write the equation of a line which is parallel to y-axis and is at a distance of 5 units from the origin.

Required equation is: x + 5 = 0 or x − 5 = 0

10. Write the equations of two lines which lie in the same plane and are intersecting at the point (3, −7).

Equations of the required two lines are:

Students must go through the latest CBSE Syllabus for Class 9 Maths so that they can prepare according to the content prescribed by the board.


RD Sharma Solutions - Ex-3.10 Pair Of Linear Equations In Two Variables, Class 10, Maths Class 10 Notes | EduRev

Q1) Points A and B are 70km. apart on a highway. A car starts from A and another car starts from B simultaneously. If they travel in the same direction, they meet in 7hrs, but if they travel towards each other, they meet in one hour. Find the speed of two cars.

Sol: We have to find the speed of car

Let x and y be two cars starting from points A and B respectively. Let the speed of car x be x km/hr and that of car y be y km/hr.

When two cars move in the same directions:

Suppose two cars meet at point Q, Then,

Distance travelled by car X = AQ

Distance travelled by car Y = BQ

It is given that two cars meet in 7 hours.

Therefore, Distance travelled by car X in 7 hours = 7x km

Distance traveled by car y in 7 hours = 7y km

7 x - 7 y = 70 Dividing both sides by common factor 7 we get,

When two cars move in opposite direction

Suppose two cars meet at point. Тогава,

Distance travelled by car x = AP ,

Distance travelled by car y = BP,

In this case, two cars meet in 1 hour

Therefore Distance travelled by car X in 1 hour = 1x km

Distance travelled by car Y in 1 hour = ly km

By solving equation (i) and (ii),

substituting x = 40 in equation (ii) we get

Hence, the speed of car starting from point A is 40km/hr.

The speed of car starting from point B is 30 km/hr.

2) A sailor goes 8km downstream in 40 minutes and returns in 1 hour. Determine the speed of the sailor in still water and the speed of the current.

Sol: Let the speed of the sailor in still water be x km/hr and the speed of the current be y km/hr

Speed downstream = (x + y)km/hr

Now, Time taken to cover 8km downstream = hrs

Time taken to cover 8km upstream = hrs

But, time taken to cover 8 km downstream in 40 minutes or 40/60 hours that is 23hrs

= 2/3

Dividing both sides by common factor 2 we get

Time taken to cover 8km upstream in 1hour ,

= 1

By solving these equation (i)and (ii) we get,

Substitute x = 10 in equation (i) we get,

Hence, the speed of sailor is 10km/hr.

Speed of Current is 2km/hr.

3) The boat goes 30km upstream and 44km downstream in 10 hrs. In 13 hours it can go 40km upstream and 55km downstream. Determine the speed of stream and that of boat in still water.

Sol. Let the speed of the boat in still water be x km/hr and the speed of the stream be y km/hr

Speed upstream = (x - y) km/hr

Speed downstream = (x + y) km/hr Now,

Time taken to cover 30 km upstream =

Time taken to cover 44 km downstream =

But total time of journey is 10 hours

+ = 10 ……..(i)

Time taken to cover 40 km upstream =

In this case total time of journey is given to be 13 hours

Therefore, = 13

Putting in equation (i) and (ii) we get


Solving Equations With Two Variables

This is part of a series of lessons for the quantitative reasoning section of the GRE revised General Test. In these lessons, we will learn:

  • Linear Equations in Two Variables
  • Solving Simultaneous Equations
  • Using the Substitution Method
  • Using the Elimination Method

Linear Equation In Two Variables

A linear equation in two variables, x and y, can be written in the form
ax + by = c
where x and y are real numbers and a and b are not both zero.

For example, 3x + 2y = 8 is a linear equation in two variables.

A solution of such an equation is an ordered pair of numbers (x, y) that makes the equation true when the values of x and y are substituted into the equation.

For example, both (2, 1) and (0, 4) are solutions of the equation but (2, 0) is not a solution. A linear equation in two variables has infinitely many solutions.

The following video shows how to complete ordered pairs to make a solution to linear equations.

Simultaneous Equations

If another linear equation in the same variables is given, it is usually possible to find a unique solution of both equations. Two equations with the same variables are called a system of equations , and the equations in the system are called simultaneous equations . To solve a system of two equations means to find an ordered pair of numbers that satisfies both equations in the system.

There are two basic methods for solving systems of linear equations, by substitution or by elimination.

Substitution Method

In the substitution method, one equation is manipulated to express one variable in terms of the other. Then the expression is substituted in the other equation.

For example, to solve the system of equations
3x + 2y = 2
y + 8 = 3x

Isolate the variable y in the equation y + 8 = 3x to get y = 3x – 8.

Then, substitute 3x – 8 for y into the equation 3x + 2y = 2.
3x + 2 (3x – 8) = 2
3x + 6x – 16 = 2
9x – 16 = 2
9x = 18

Substitute x = 2 into y = 3x – 8.to get the value for y
y = 3 (2) – 8
y = 6 – 8 = – 2

How to solve simultaneous equations using substitution?

Elimination Method

In the elimination method, the object is to make the coefficients of one variable the same in both equations so that one variable can be eliminated either by adding the equations together or by subtracting one from the other.

Consider the following example:
2x + 3y = –2 4x – 3y = 14

In this example the coefficients of y are already opposites (+3 and –3). Just add the two equations to eliminate y.

To get the value of y, we need to substitute x = 2 into the equation 2x + 3y = –2
2(2) + 3y = –2
4 + 3y = –2
3y = –6
y = –2

How to solve simultaneous equations using the substitution method and elimination (or combination) method

Example of the GRE Quantitative Comparison question that involves simultaneous equations

How to solve (linear) linear simultaneous equations by the method of elimination?
Four examples are given whereby the last example requires the multiplying of both of the equations before one of the variable can be eliminated.

Опитайте безплатния калкулатор за математика и решаване на проблеми по-долу, за да практикувате различни теми по математика. Опитайте дадените примери или въведете свой собствен проблем и проверете отговора си с обясненията стъпка по стъпка.

Приветстваме вашите отзиви, коментари и въпроси относно този сайт или страница. Моля, изпратете вашите отзиви или запитвания чрез нашата страница за обратна връзка.


Linear Equations in Two Variables



Examples, videos and solutions to help Grade 8 students learn how to solve linear equations with two variables.

New York State Common Core Math Grade 8, Module 4, Lesson 12

Lesson 12 Outcome

&bull Students use a table to find solutions to a given linear equation and plot the solutions on a coordinate plane.

Lesson 12 Summary

&bull A two-variable linear equation in the form ax + by = c is said to be in standard form.
&bull A solution to a linear equation in two variables is the ordered pair (x, y) that makes the given equation true. Solutions can be found by fixing a number for x and solving for y or fixing a number for y and solving for x.

Opening Exercise
Emily tells you that she scored 32 points in a basketball game with only two- and three-point baskets (no free throws).
How many of each type of basket did she score? Use the table below to organize your work.
Let x be the number of two-pointers and y be the number of three-pointers that Emily scored. Write an equation to represent the situation.

NYS Math Module 4 Grade 8 Lesson 12 Exercises

1. Find five solutions for the linear equation 2x = y - 4, and plot the solutions as points on a coordinate plane.

Опитайте безплатния калкулатор за математика и решаване на проблеми по-долу, за да практикувате различни теми по математика. Опитайте дадените примери или въведете свой собствен проблем и проверете отговора си с обясненията стъпка по стъпка.

Приветстваме вашите отзиви, коментари и въпроси относно този сайт или страница. Моля, изпратете вашите отзиви или запитвания чрез нашата страница за обратна връзка.


Systems of Equations (Graphically)


Examples, solutions, videos and lessons to help Grade 8 students learn how to analyze and solve pairs of simultaneous linear equations.

A. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously.

B. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solution because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6.

C. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.

Предложени цели за обучение

  • I can identify the solution(s) to a system of two linear equations in two variables as the point(s) of intersection of their graphs.
  • I can describe the point(s) of intersection between two lines as the points that satisfy both equations simultaneously.
  • I can define "inspection."
  • I can solve a system of two equations (linear) in two unknowns algebraically.
  • I can identify cases in which a system of two equations in two unknowns has no solution.
  • I can identify cases in which a system of two equations in two unknowns has an infinite number of solutions.
  • I can solve simple cases of systems of two linear equations in two variables by inspection.
  • I can estimate the point(s) of intersection for a system of two equations in two unknowns by graphing the equations.
  • I can represent real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables.

Solving Systems of Equations Graphically
Graphs intersect at one point.
The system is consistent and has one solution. Since neither equation is a multiple of the other, they are independent.

Graphs are parallel.
The system is inconsistent because there is no solution. Sine the equations are not equivalent, they are not independent.

Equations have the same graph.
The system is consistent and has infinite number of solutions. The equations are dependent since they are equivalent.

Опитайте безплатния калкулатор за математика и решаване на проблеми по-долу, за да практикувате различни теми по математика. Опитайте дадените примери или въведете свой собствен проблем и проверете отговора си с обясненията стъпка по стъпка.

Приветстваме вашите отзиви, коментари и въпроси относно този сайт или страница. Моля, изпратете вашите отзиви или запитвания чрез нашата страница за обратна връзка.